Cho hai số phức u , v thỏa mãn \(3|u-6 i|+3|u-1-3 i|=5 \sqrt{10},|v-1+2 i|=|\bar{v}+i|\) . Giá trị nhỏ nhất
của |u-v| là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } 3|u-6 i|+3|u-1-3 i|=5 \sqrt{10} \Leftrightarrow|u-6 i|+|u-1-3 i|=\frac{5 \sqrt{10}}{3} \Rightarrow M F_{1}+M F_{2}=\frac{5 \sqrt{10}}{3} \text { . }\\ &\Rightarrow u \text { có điểm biểu diễn } M \text { thuộc elip với hai tiêu điểm } F_{1}(0 ; 6), F_{2}(1 ; 3), \text { tâm } I\left(\frac{1}{2} ; \frac{9}{2}\right) \text { và độ }\\ &\text { dài trục lớn là } 2 a=\frac{5 \sqrt{10}}{3} \Rightarrow a=\frac{5 \sqrt{10}}{6} \text { . }\\ &\overrightarrow{F_{1} F_{2}}=(1 ;-3) \Rightarrow F_{1} F_{2}: 3 x+y-6=0 \end{aligned}\)
\(\text { Ta có: }|v-1+2 i|=|\bar{v}+i|=|v-i| \Rightarrow N A=N B\)
\(\begin{aligned} &\Rightarrow v \text { có điểm biểu diễn } N \text { thuộc đường thẳng } d \text { là trung trực của đoạn } A B \text { với } A(1 ;-2), B(0 ; 1) \text { . }\\ &\overrightarrow{A B}=(-1 ; 3), K\left(\frac{1}{2} ;-\frac{1}{2}\right) \text { là trung điểm của } A B \Rightarrow d: x-3 y-2=0\\ &d(I, d)=\frac{\left|\frac{1}{2}-\frac{27}{2}-2\right|}{\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{3 \sqrt{10}}{2}\\ &\text { Dễ thấy } F_{1} F_{2} \perp d \Rightarrow \min |u-v|=\min M N=|d(I, d)-a|=\frac{2 \sqrt{10}}{3} \text { . } \end{aligned}\)
