Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính cos góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Giả sử tất cả các cạnh của hình chóp S.ABCD đều bằng 1.
Gọi O là tâm cua đáy \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right) \Rightarrow \sin \varphi = \frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{MN}}\).
Vì MO là đường trung bình của tam giác SAC nên
\(MO//SC \Rightarrow MO//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Ta có \(CD \bot \left( {SON} \right) \Rightarrow CD \bot OH\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CD\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\)
Lại có \(SO = \sqrt {S{A^2} – O{A^2}} = \sqrt {1 – \frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(ON = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}\).
Trong tam giác vuông SON ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{SO.ON}}{{\sqrt {S{O^2} + O{N^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có \(AN = \sqrt {A{D^2} + D{N^2}} = \sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
MN là đường trung tuyến của \(\Delta \,SAN\) nên \(M{N^2} = \frac{{S{N^2} + A{N^2}}}{2} – \frac{{S{A^2}}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \(\sin \varphi = \frac{{OH}}{{MN}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Khi đó góc giữa cạnh bên và đáy bằng
-
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {DM} = 3\overrightarrow {MC} \). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 60o.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC . Các đường thẳng AH, SK, BC thỏa mãn:
-
Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là:
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng CM và \(\left( {ABCD} \right)\)
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính \(cosin\) góc giữa đường thẳng AM và mặt phẳng \(\left( {A’CD} \right)\)
-
Mệnh đề nào sau đây có thể sai?
-
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’BD) là:
.png)
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB=a,A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc α. Biết \( AA'.{S_{{\rm{\Delta }}\,ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\). Tính α.
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng 2a, cạnh bên bằng a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và N là trung điểm của BC.Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính \(\cos in\) góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S trên ( ABC) là:
-
Cho hình chóp .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(S A \perp(A B C D\).Gọi AE; AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
-
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp (ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và \(S H \perp(A B C D)\). Gọi K là trung điểm của cạnh AD . Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AC ' và mp (A'BCD') . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
