Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính cos góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Giả sử tất cả các cạnh của hình chóp S.ABCD đều bằng 1.
Gọi O là tâm cua đáy \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right) \Rightarrow \sin \varphi = \frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{MN}}\).
Vì MO là đường trung bình của tam giác SAC nên
\(MO//SC \Rightarrow MO//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Ta có \(CD \bot \left( {SON} \right) \Rightarrow CD \bot OH\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot CD\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\)
Lại có \(SO = \sqrt {S{A^2} – O{A^2}} = \sqrt {1 – \frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(ON = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}\).
Trong tam giác vuông SON ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{SO.ON}}{{\sqrt {S{O^2} + O{N^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có \(AN = \sqrt {A{D^2} + D{N^2}} = \sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
MN là đường trung tuyến của \(\Delta \,SAN\) nên \(M{N^2} = \frac{{S{N^2} + A{N^2}}}{2} – \frac{{S{A^2}}}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \(\sin \varphi = \frac{{OH}}{{MN}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là:
-
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có \(AB = \sqrt 3 \) và AA’ = 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC’ và \(\left( {ABC} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng \(2\sqrt 2 \). Khi đó góc giữa cạnh bên và đáy bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có cạnh \(S A \perp(A B C)\) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AC ' và mp (A'BCD') . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và SA = a. Đáy ABC thỏa mãn \(AB = a\sqrt 3 \). Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)
-
Các đường thẳng cùng vuông góc với một đương thẳng thì:
-
Cho hình chóp S.ABC, có cạnh bên \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Góc giữa đường thẳng SB và đáy là góc nào dưới đây?
-
Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định C và D là?
-
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc.
Khằng định nào sau đây đúng?
-
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) Tam giác SOD là:
.png)
-
Cho hình chóp \(S \cdot A B C \text { có } S A=S B=S C\) và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ \(S H \perp(A B C), H \in(A B C)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \). Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng CM và \(\left( {ABCD} \right)\)
-
Cho hình chóp S.ABC có \(S A \perp(A B C)\) và tam giác ABC không vuông, gọi H,K lần lượt là trực tâm các \(\Delta \)ABC và \(\Delta \)SBC . Số đo góc tạo bởi HK và mp (SBC) là?
-
Cho hình chóp S ABC . có cạnh \(S A \perp(A B C)\) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?
-
Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = 2 và \(AA’ = 2\sqrt 2 \) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Góc giữa đường thẳng CA’ và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
