Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,\text{ }SD.\) Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt \(\frac{SQ}{SB}=x\), \({{V}_{1}}\) là thể tích của khối chóp \(S.MNQP,\) \(V\)là thể tích của khối chóp \(S.ABCD.\) Tìm x để \({{V}_{1}}=\frac{1}{2}V\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({{V}_{S.ABD}}={{V}_{S.BCD}}=\frac{V}{2}\), \({{V}_{1}}={{V}_{S.MNQ}}+{{V}_{S.NPQ}}\)
+) Vì MN//BC nên PQ//BC\(\to \frac{SP}{SC}=\frac{SQ}{SB}=x\)
+) \(\frac{{{V}_{S.MNQ}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}.\frac{SQ}{SB}=\frac{x}{4}\)\(\to \frac{{{V}_{S.MNQ}}}{\frac{V}{2}}=\frac{x}{4}\to \frac{{{V}_{S.MNQ}}}{V}=\frac{x}{8}\); \(\frac{{{V}_{S.NPQ}}}{{{V}_{S.BCD}}}=\frac{SN}{SD}.\frac{SQ}{SB}.\frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\)\(\to \frac{{{V}_{S.NPQ}}}{V}=\frac{{{x}^{2}}}{4}\)
+) Ta có: \({{V}_{1}}=\frac{1}{2}V\Leftrightarrow \frac{{{V}_{S.MNQ}}+{{V}_{S.NPQ}}}{V}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{8}+\frac{{{x}^{2}}}{4}=\frac{1}{2}\)
⇔ \(x=\frac{-1+\sqrt{41}}{4}\)
