Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy là tam giác vuông cân tại B và \(AC = a\sqrt 2 \) ; cạnh bên AA’ = a. Gọi N là trung điểm của A’C’. Tính góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(M = A’C \cap AN\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AN và mặt phẳng \(\left( {A’BC} \right)\), khi đó \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right)}}{{AM}}\)
Kẻ \(AH \bot A’B\).
Ta có
\(BC \bot \left( {A’AM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot A’B\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’BC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right) = AH\).
Trong tam giác vuông ABC.A’B’C’ ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Leftrightarrow 2A{B^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow AB = a\).
Trong tam giác vuông A’AB có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A’}^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
Ta có \(\frac{{MN}}{{AM}} = \frac{{A’N}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AM = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}\sqrt {A{{A’}^2} + A'{N^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}a\).
Khi đó \(\sin \varphi = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ \).
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ diện ABCD có \(A B=A C \text { và } D B=D C\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho một điểm S có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Với điểm M bất kì trong (P) ta có:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu của S lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm H sao cho \(2\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \). Góc giữa đường thẳng SB và đáy bằng \({45^0}\). Tính cos góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = a,\,AD = 2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; góc BAC bằng góc BAD bằng 60o60o. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính \({\mathop{\rm cos}\nolimits} in\) giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng đáy
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’: Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’BD) là:
-
Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định C và D là?
-
Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB. BC, CD đôi một vuông góc.
Đường vuông góc chung của AB và CD là:
.png)
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AC ' và mp (A'BCD') . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Nếu I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC) thì I là:
-
Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, \(S A \perp(A B C D)\). Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.
-
Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(S A \perp(A B C D)\). Biết \(S A=\frac{a \sqrt{6}}{3}\) . Tính góc giữa SC và (ABCD)?
-
Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (P), trong đó \(a \perp(P)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, các tam giác SAB và SBC lần lượt là các tam giác vuông tại A và C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên \(\left( {ABC} \right)\) và M là trung điểm của đoạn AB. Tính cos góc giữa đường thẳng HM mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)
-
Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Cho hình lập phương \(A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Đường thẳng AC ' vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
-
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
