Cho số phức thỏa điều kiện \(\left|z^{2}+4\right|=|z(z+2 i)|\) . Giá trị nhỏ nhất của \(|z+i| \) bằng ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Giả sử } z=x+y i(x, y \in \mathbb{R}) \text { . }\)
\(\begin{array}{l} \left|z^{2}+4\right|=|z(z+2 i)| \Leftrightarrow\left|z^{2}-(2 i)^{2}\right|=|z(z+2 i)| \Leftrightarrow|(z-2 i)(z+2 i)|=|z(z+2 i)| \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} z+2 i=0 \\ |z-2 i|=|z|(2) \end{array}\right. \end{array}\)
\(\text { (1) } \Leftrightarrow z=-2 i \text { . Suy ra }|z+i|=|-2 i+i|=|-i|=1 \text { . }\)
\(\begin{aligned} &\text { (2) } \Leftrightarrow|x+y i-2 i|=|x+y i| \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-4 y+4=x^{2}+y^{2}\\ &\Leftrightarrow y=1 \end{aligned}\)
Suy ra \(|z+i|=|x+y i+i|=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}=\sqrt{x^{2}+4} \geq 2, \forall x \in \mathbb{R}\)Vậy giá trị nhỏ nhất của |z+i| bằng 1.
