Cho từ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh a,b,c,d. Diện tích tứ giác đó:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi p là nửa chu vi tứ giác
Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là a,b,c,d
Khi đó:
\( \hat A + \hat C = {180^0} \to \sin C = \sin A;\cos C = - \cos A.\)
Ta có
\(\begin{array}{l} S = {S_{ABD}} + {S_{CDB}} = \frac{1}{2}ad\sin A + \frac{1}{2}bc\sin C\\ \Leftrightarrow 2S = (ad + bc)\sin A \to \sin A = \frac{{2S}}{{ad + bc}} \end{array}\)
Mặt khác, tam giác ABD có \( B{D^2} = {a^2} + {d^2} - 2ad\cos A\), còn tam giác CBD có \( B{D^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\)
Suy ra
\( {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2} = 2(ad + bc)\cos A \to \cos A = \frac{{{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2(ad + bc)}}\)
Do
\( {\cos ^2}A + {\sin ^2}A = 1 \to 16{S^2} + {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2} = 4{(ad + bc)^2}\)
Vậy
\(\begin{array}{l} 16{S^2} = {\left[ {2(ad + bc)} \right]^2} - {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}\\ = (2ad + 2bc + {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})(2ad + 2bc - {a^2} - {d^2} + {b^2} + {c^2})\\ = \left[ {{{(a + d)}^2} - {{(b - c)}^2}} \right]\left[ {{{(b + c)}^2} - {{(a - d)}^2}} \right]\\ = (a + d + b - c)(a + d - b + c)(b + c + a - d)(b + c - a + d)\\ = (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)\\ = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)\\ \to S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC =12 cm và BC =15 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác đã cho.
-
\(\text { Cho biết } \sin \alpha+\cos \alpha=a \text {. Tính giá trị của } \sin \alpha \cos \alpha \text {. }\)
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A(2;4);B(3;1);C( - 1;1)\). Tìm trực tâm H.
-
Cho tam giác \(ABC\) biết \(c = 35cm,\widehat A = {40^0},\widehat C = {120^0}\). Tính cạnh a.
-
Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Biết \(\overrightarrow{M H} \cdot \overrightarrow{M A}=k B C^{2}\). Giá trị của k là?
-
Cho hình vuông ABCD có cạnh a . Tính \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}\)
-
Tam giác ABC có \(A B=3, A C=6, \widehat{B A C}=60^{\circ}\). Tính độ dài đường cao ha của tam giác?
-
\(\text { Cho ba điểm } A(3 ; 4), B(1,2), C(-1,5).\) Tìm toạ độ trực tâm và chân đường cao hạ từ các đỉnh
-
Cho tam giác ABC với các cạnh \(A B=c, B C=a, C A=b\). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng?
-
Trong hệ tọa độ \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\), cho vectơ \(\vec{a}=-\frac{3}{5} \vec{i}-\frac{4}{5} \vec{j}\) . Độ dài của vectơ \(\vec a\) bằng
-
Tam giác ABC vuông ở A và BC=2 AC . Tính cosin của góc \((\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})\)
-
Tính giá trị của biểu thức \(B=3-\sin ^{2} 90^{\circ}+2 \cos ^{2} 60^{\circ}-3 \tan ^{2} 45^{\circ}\)
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5 ; B C= 7; C A=8. \text{ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R tam giác ABC.}\)
-
Cho tam giác ABC. \(\text { Tính tích vô hướng } \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} \text { theo độ dài các cạnh của tam giác. }\)
-
Cho hai vectơ \(\vec{a} \text { và } \vec{b}\) . Đẳng thức nào sau đây sai?
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {4;5} \right);\overrightarrow b =\left( {m + 1;1} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Tam giác ABC vuông cân tại A , có AB =a. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
-
Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đẳng AB trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc \(\widehat {BPA} = {35^o}\)và \(\widehat {BQA} = {48^o}\). Tính BQ.
-
Tính giá trị của biểu thức \(A=a^{2} \sin 90^{\circ}+b^{2} \cos 90^{\circ}+c^{2} \cos 180^{\circ}\)
-
Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc \( \widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^ \circ }\) và \( \widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^ \circ }\). Tính chiều cao CD của tháp.
.PNG)
