Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx – \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định : \(D = \mathbb{R}.\)
\(y’ = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}\).
Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y’ \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge – m,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow – m \le \,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right)\),với \(f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}\left( 1 \right)\).
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} = \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{1}{{{2^5}}}}} = \frac{5}{2}\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó \(\,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right) = \frac{5}{2}\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \( – m \le \frac{5}{2}\, \Leftrightarrow m \ge – \frac{5}{2}\). Do m nguyên âm nên m = – 1 hoặc m = – 2.
Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=\sqrt{3 x^{2}-x^{3}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
-
Cho hàm số \(f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình sau.
Hàm số \(g(x)=3 f(1-2 x)+8 x^{3}-21 x^{2}+6 x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{(m+5) x+2 m^{2}+5 m+6}{x+2 m}\) nghịch biến trên khoảng \((4 ;+\infty) ?\)
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Hàm số \(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 5\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số f(x)có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số \(y=f(2 x-2)-2 e^{x}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? -
Hàm số \(y = {x^2} + 2x\) đồng biến trên các khoảng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^2} – 2x, \forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = – 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng
-
Cho hàm số \(y\; = \;x\; + \;{\cos ^2}\left( x \right)\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
Tính các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{\sin x-3}{\sin x-m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{4}\right)\).
-
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm f'(x) như sau:
Hàm số \(y=3 f(-x+2)+e^{x^{3}+3 x^{2}-9 x+1}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tìm tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3+(m+1)x^2–(m+1)x+1\) đồng biến trên tập xác định.
-
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(3{a^2}\), chiều cao bằng a là
-
Hàm số \(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 5\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
-
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=\frac{m x-1}{x-m}\)đồng biến trên khoảng (1;3)?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + x + 2019\)
-
Hàm số y = - x3 + 3x – 5 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm\(f^{\prime}(x)=x\left(x^{2}-1\right)(x-4)\) . Hàm số y=f(3-x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số \(y=f\left(x^{2}-2\right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
