Đặt hiệu điện thế xoay chiều \(u={{U}_{0}}cos(100\pi t+\varphi )\text{ }(V)\) vào hai đầu đoạn mạch nối tiếp theo thứ tự gồm R1, R2 và cuộn thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Biết \({{\text{R}}_{1}}=2{{\text{R}}_{2}}=200\sqrt{3}\text{ }\Omega .\) Điều chỉnh L cho đến khi hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu đoạn mạch chứa R2 và L lệch pha cực đại so với hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch. Giá trị của độ tự cảm lúc đó là?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐộ lệch pha giữa đoạn mạch chứa R2, L so với cường độ dòng điện:
\(\tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{i}} \right)=\frac{{{Z}_{L}}}{{{R}_{2}}}=\frac{a}{100\sqrt{3}}.\)
Độ lệch pha giữa điện áp hai đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện:
\(\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right)=\frac{{{Z}_{L}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}=\frac{a}{300\sqrt{3}}.\)
Độ lệch pha giữa hai đầu đoạn mạch R2, L và điện áp hai đầu đoạn mạch:
\(\text{ }{{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}}=\left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{i}} \right)-\left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right).\)
\(\Leftrightarrow \tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)=\frac{\tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{i}} \right)-\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right)}{1+\tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{i}} \right).\tan \left( {{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i}} \right)}.\)
\(\Leftrightarrow \tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)=\frac{\frac{a}{100\sqrt{3}}-\frac{a}{300\sqrt{3}}}{1+\frac{a}{100\sqrt{3}}.\frac{a}{300\sqrt{3}}}.\)
\(\Leftrightarrow \tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)=\frac{200\sqrt{3}a}{90000+{{a}^{2}}}=\frac{200\sqrt{3}}{\frac{90000}{a}+a}.\)
Ta có \(0<\left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)<\frac{\pi }{2}\Rightarrow \tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)\) càng lớn thì \(\left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)\) càng lớn.
Để \(\left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)\) cực đại thì \(\tan \left( {{\varphi }_{R2L}}-{{\varphi }_{u}} \right)\) cực đại \(\Rightarrow \left( \frac{90000}{a}+a \right)\) phải nhỏ nhất.
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có: \(\frac{90000}{a}+a\ge 2\sqrt{\frac{90000}{a}.a}\Leftrightarrow \frac{90000}{a}+a\ge 600.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{90000}{a}=a\Rightarrow a=\sqrt{90000}=300\text{ }\Omega \text{.}\)
Độ tự cảm của cuộn dây: \(L=\frac{{{Z}_{L}}}{\omega }=\frac{300}{100\pi }=\frac{3}{\pi }\text{ H}\text{.}\)
