Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l} \left(\mathrm{C}_{x}^{x-1}\right)^{2}+2\left(\mathrm{C}_{y}^{y-1}\right)^{2}=3 \mathrm{~A}_{x}^{x-1} \cdot \mathrm{C}_{y}^{y-1} \\ \left(\mathrm{C}_{x}^{x-1}\right)^{3}=\mathrm{A}_{y}^{y-1}+1 \end{array}\right.\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Điều kiện } x, y \in \mathbb{N}^{*} \text { . }\)
ta có:
\(\mathrm{C}_{x}^{x-1}=\frac{x !}{(x-1) !}=x, \quad \mathrm{C}_{y}^{y-1}=\frac{y !}{(y-1) !}=y, \quad \mathrm{~A}_{x}^{x-1}=\frac{x !}{(x-1) !}=x, \quad \mathrm{~A}_{y}^{y-1}=\frac{y !}{(y-1) !}=y .\)
Hệ đã cho trở thành:
\(\left\{\begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3 x y } \\ { 2 x ^ { 3 } = y + 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } - 3 x y = 0 } \\ { 2 x ^ { 3 } - y - 1 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} x=y \\ x=2 y \end{array}\right.} \\ 2 x^{3}=y+1 \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\text { Với } x=y \text { ta có } 2 y^{3}-y-1=0 \Leftrightarrow y=1 \Rightarrow x=y=1 \text { . }\)
\(\text { Với } x=2 y \text { ta có } 16 y^{3}-y-1=0 \text { . }(*)\)
\(\text { Xét hàm } f(y)=16 y^{3}-y-1 \text { trên miền }[1 ;+\infty) \text { ta có } f^{\prime}(y)=48 y^{2}-1>0 \text { với } y \geq 1\)
\(\Rightarrow f(y) \text { đồng biến trên }[1 ;+\infty) \text { . }\)
\(\text { Do đó } \min _{[1 ;+\infty)} f(y)=f(1)=14>0 \text { , suy ra phương trình }(*) \text { vô nghiệm. }\)
\(\text { Vậy nghiệm của hệ là }(x ; y)=(1 ; 1) \text { . }\)
