Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):\,{(x – 1)^2} + (y – 2){}^2 + {(z + 1)^2} = 9\) và hai điểm \(A(4\,;\,3\,;\,1), B(3\,;\,1\,;\,3); M\) là điểm thay đổi trên (S). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2M{A^2} – M{B^2}\). Xác định m – n.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right): {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z – 16 = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính r. Khi đó, giá trị của biểu thức L = a + b + c + r bằng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2y + 4z + 2 = 0.\) Độ dài đường kính của mặt cầu \((S)\) bằng

Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x – 2y + 2z + m = 0\) là phương trình của một mặt cầu.

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\bot \left( ABC \right)\), \(AB=1\), \(AC=2\) và \(\widehat{BAC}=60{}^\circ .\) Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), \(SC\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đi qua các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(M\), \(N\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 2;2; – 2} \right); B\left( {3; – 3;3} \right)\). Điểm M trong không gian thỏa mãn \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{3}\). Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng

Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a.\) Đường thẳng \(SA=a\sqrt{2}\) vuông góc với đáy \(\left( ABCD \right).\) Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt \(SB,SD\) lần lượt tại \(E,F.\) Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm \(S,A,E,M,F\) nhận giá trị nào sau đây?

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(\frac{a\sqrt{21}}{6}\). Gọi \(h\) là chiều cao của khối chóp và \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số \(\frac{R}{h}\) bằng:

Cho hình chóp đều (S.ABC ) có chiều cao bằng h và cạnh bên bằng b. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0; – 1;2} \right), B\left( {2; – 3;0} \right), C\left( { – 2;1;1} \right), D\left( {0; – 1;3} \right)\). Gọi \(\left( L \right)\) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\). Biết rằng \(\left( L \right)\) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;4} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x + 1)^2} + {y^2} + {(z – 2)^2} = 27\) có phương trình:

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và thể tích bằng \(\frac{{256\pi }}{3}\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là:

Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?

Trong không gian Oxy, cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z – 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1; – 2;5} \right)\). Lập phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào một chiếc thùng hình trụ có chiều cao 2m, bán kính đường tròn đáy 0,5m và có chứa sẵn một lượng nước có thể tích bằng 1/8 thể tích của thùng. Sau khi thả khối cầu bằng đá vào, người ta đo được mực nước trong thùng cao gấp 3 lần mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu bằng đá vào. Diện tích xung quanh của khối cầu bằng đá gần nhất với kết quả nào dưới đây ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {5;1; – 1} \right), B\left( {14; – 3;3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2;2} \right)\). Gọi C, D lần lượt là hình chiếu của A và B lên \(\Delta \). Mặt cầu đi qua hai điểm C, D có diện tích nhỏ nhất là

Điều kiện để \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0\) là một mặt cầu là:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a.\) Đường thẳng \(SA\) vuông góc đáy \(\left( ABCD \right).\) Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng \(SB.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(HBCD\) có giá trị nào sau đây?

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( { – 1;1;0} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0,1,0} \right)\)?