Phương trình \(\cos ^{2} x+\cos x+\sin ^{3} x=0\) có bao nhiêu họ nghiệm?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} \operatorname{Pt} & \Leftrightarrow \cos x(\cos x+1)+\sin x\left(1-\cos ^{2} x\right)=0 \\ & \Leftrightarrow \cos x(\cos x+1)+\sin x(1-\cos x)(1+\cos x)=0 \\ & \Leftrightarrow(\cos x+1)(\cos x+\sin x-\sin x \cos x)=0 \\ & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll} \cos x=-1 & (1) \\ \cos x+\sin x-\sin x \cos x=0 & (2) \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\text { Giải }(1): \cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\text { Giải (2): Đặt } t=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right),-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} \text { . }\)
Phương trình (2) trở thành:
\(\begin{aligned} &t^{2}-2 t-1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=1+\sqrt{2}(l) \\ t=1-\sqrt{2} \quad(t m) \end{array}\right. \\ &\text { Với } t=1-\sqrt{2} \Rightarrow \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4} \pm \arccos \left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} . \end{aligned}\)