Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\sin \frac{A}{2} \cos ^{3} \frac{B}{2}=\sin \frac{B}{2} \cos ^{3} \frac{A}{2}\) là tam giác gì?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\sin \frac{A}{2} \cos ^{3} \frac{B}{2}=\sin \frac{B}{2} \cos ^{3} \frac{A}{2}(1)\\ &\text { Chia cả hai vế của (1) cho } \cos ^{3} \frac{A}{2} \cos ^{3} \frac{B}{2} \neq 0, \text { ta có }\\ &\begin{aligned} & \tan \frac{A}{2}\left(1+\tan ^{2} \frac{A}{2}\right)=\tan \frac{B}{2}\left(1+\tan ^{2} \frac{B}{2}\right) \\ \Leftrightarrow & \tan \frac{A}{2}+\tan ^{3} \frac{A}{2}-\tan \frac{B}{2}-\tan ^{3} \frac{B}{2}=0 \\ \Leftrightarrow &\left(\tan \frac{A}{2}-\tan \frac{B}{2}\right)\left(1+\tan ^{2} \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan ^{2} \frac{B}{2}\right)=0(2) \end{aligned} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do } 1+\tan ^{2} \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}+\tan ^{2} \frac{B}{2}>1 \text { nên từ }(2) \text { có } \\ &\frac{A}{2}-\frac{B}{2}=0 \Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B} \end{aligned}\)
Vậy ABC là tam giác cân đỉnh C.
Câu hỏi liên quan
-
Giả sử chúng ta cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C là chân tháp, D là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB = 30 m sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta đo được các góc \( \widehat {CAD} = {43^0},\widehat {CBD} = {67^0}\). Hãy tính chiều cao CD của tháp.
-
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=8: B C= 21 ; C A=17. \text{ Tính số đo của } \hat{B}\)
-
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \(60^{0}\) . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=9. \text{ Tính độ dài trung tuyến CF.}\)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\vec{a}=(-1 ; 1) \text { và } \vec{b}=(2 ; 0)\). Tính \(\cos (\vec{a}, \vec{b})\)
-
Ta, giác BAC thỏa điều kiện \(h_{a}=\sqrt{p(p-a)}\) (ha là đường cao kẻ từ a) thì là tam giác gì?
-
Tính: \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha - \cos \alpha )^2}\)
-
\(\text{Cho vectơ }\overrightarrow a = \left( {m - 3;m + 1} \right);\overrightarrow b =\left( {4;1} \right).\text{ Tìm m để }\overrightarrow a \bot \overrightarrow b .\)
-
Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó bán kính R bằng:
-
Cho hình bình hành ABCD có \(A B=8 \mathrm{cm}, A D=12 \mathrm{cm}\) , góc \(\widehat{A B C}\) nhọn và diện tích bằng 54cm2 .Tính \(\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})\)
-
Cho \(\sin \alpha=\frac{1}{3}\) . Tính giá trị biểu thức \( P=3 \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\)
-
Tam giác ABC có A B=3, B C=8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết \(\cos \widehat{A M B}=\frac{5 \sqrt{13}}{26} \text { và } A M>3\) . Tính độ dài cạnh AC .
-
Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng?
-
\(\text{Tam giác ABC có }A B=5: B C= 7 ; C A=9. \text{ Tính độ dài trung tuyến BD.}\)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\vec{u}=(4 ; 1) \text { và } \vec{v}=(1 ; 4)\) Tìm m để \(\vec{a}=m \cdot \vec{u}+\vec{v}\)tạo với vectơ \(\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}\)một góc 450 .
-
Tam giác ABC có \(A C=4, B A C=30^{\circ}, A C B=75^{\circ}\) . Tính diện tích tam giác ABC .
-
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3;AD = 4. Gọi M là điểm thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{A M}=k \overrightarrow{A B}\). Tìm k để AC vuông góc với DM
-
Cho DABC nội tiếp đường tròn (O;3). Biết rằng \(\widehat{A}=\widehat{B}=30^{\circ}\). Tính diện tích S của DABC
-
Cho tam giác ABC có \(a = 12,b = 16,c = 20\). Tính chiều cao \({h_a}\) của tam giác.
