Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHypebol (H) có \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10\) và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).
Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a{\rm{ }} > {\rm{ }}b{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right).\)
Theo đề bài ta có:
+) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H)
⇒ c = 10 ⇒ a2 − b2 = c2=100 (1).
+) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M(8;6) \in (E)\\ \Rightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{64}}{{{a^2}}} + \frac{{36}}{{{b^2}}} = 1(2) \end{array}\)
Thế (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l} \frac{{64}}{{{a^2}}} + \frac{{36}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{64{b^2} + 36({b^2} + 100)}}{{({b^2} + 100){b^2}}} = 1\\ \Rightarrow 64{b^2} + 36({b^2} + 100) = ({b^2} + 100){b^2}\\ \Rightarrow 100{b^2} + 3600 = {b^4} + 100{b^2} \Rightarrow {b^4} = 3600 \Rightarrow {b^2} = 60;{a^2} = 160 \end{array}\)
Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{{160}} + \frac{{{y^2}}}{{60}} = 1\)
Câu hỏi liên quan
-
Elip \(\left( E \right):4{x^2} + 16{y^2} = 1\) có độ dài trục lớn bằng:
-
Phương trình chính tắc của đường elip với \(a=4, b=3\) là:
-
Cho Elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2 và đặt F1F2 = c. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c; 0) và F2(c; 0). Xét điểm M(x; y). Tính F1M và F2M theo x, y và c.
.png)
-
Cho elip (E) : \(\dfrac{{{x^2}}}{{64}} + \dfrac{{{y^2}}}{{48}} = 1.\) Tìm tọa độ những điểm M trên (E) sao cho : \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\).
-
Độ dài trục lớn và trục nhỏ của elip x2 + 16y2 = 16 lần lượt là:
-
Phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn đi qua điểm (1; 4)
-
Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy ?
-
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10 .
-
Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac{4}{5}\).
-
Cặp đường thẳng nào dưới đây là các đường chuẩn của hypebol \(\frac{x^{2}}{q^{2}}-\frac{y^{2}}{p^{2}}=1 ?\)
-
Đường tròn \(3 x^{2}+3 y^{2}-6 x+9 y-9=0\) có bán kính bằng bao nhiêu?
-
Trong hệ trục Oxy, cho Elip (E) có các tiêu điểm \(F_{1}(-4 ; 0), F_{2}(4 ; 0)\) và một điểm M nằm trên (E) . Biết rằng chu vi của tam giác \(M F_{1} F_{2}\) bằng 18. Xác định tâm sai e của (E).
-
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc là y2 = 2px (p > 0) (Hình 20).
.png)
So sánh khoảng cách MF từ điểm M đến tiêu điểm F và khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn Δ ta được kết luận:
-
Cho elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Phương trình đã cho nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
-
Elip \((E): \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\) có độ dài trục lớn bằng:
-
Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
-
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm \(N\left( {2; - \frac{5}{3}} \right)\) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac23\).
-
Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1\) có một đỉnh nằm trên trục bé là:
-
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).
.png)
Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A1, A2. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA1 và OA2
