Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \({\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = x + yi;{\rm{ }}\left( {x \in \mathbb{R};y \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có: \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left( C \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 5\): tâm \(I\left( {3;4} \right)\) và \(R = \sqrt 5 .\)
\(M = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} – \left[ {\left( {{x^2}} \right) + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} \right] = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow d:4x + 2y + 3 – M = 0.\)
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và \(\left( C \right)\) có điểm chung
\( \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {23 – M} \right|}}{{2\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 – M} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le M \le 33\)
\( \Rightarrow {M_{\max }} = 33 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y – 30 = 0\\{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = – 5\end{array} \right. \Rightarrow z + i = 5 – 4i \Rightarrow \left| {z + i} \right| = \sqrt {41} .\)
