Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt {34} , \left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right|\) và sao cho \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) là lớn nhất. Khi đó giá trị \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\)
Gọi \(z = x + iy,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt {34} \Rightarrow M,N\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {34} \)
Mà \(\left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi + 1 + mi} \right| = \left| {x + yi + m + 2i} \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + m} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + m} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow 2\left( {m – 1} \right)x + 2\left( {m – 2} \right)y – 3 = 0\)
Suy ra M,N thuộc đường thẳng \(d:2\left( {m – 1} \right)x + 2\left( {m – 2} \right)y – 3 = 0\)
Do đó M,N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn \(\left( C \right)\)
Ta có \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN\) nên \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất
\( \Leftrightarrow MN\) đường kính của \(\left( C \right)\). Khi đó \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2OI = 2\)
Câu hỏi liên quan
-
Có bao nhiêu số phức z có phần ảo nguyên thỏa mãn \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt 5 \) và \(\left( {z – i} \right)\left( {\overline z + 2} \right)\) là số thực?
-
Cho số phức z = 5 – 3i. Phần thực của số phức \(w = 1 + \overline z + {\left( {\overline z } \right)^2}\) bằng
-
Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\) và \({z_2} = 6i.\) Phần ảo của số phức \(z = i{z_1} – \overline {{z_2}} \) bằng
-
Tính \({(2 - i)^3}\)
-
Phương trình \((3-2 i) z+4+5 i=7+3 i\) có nghiệm z bằng
-
Cho số phức z = i(1 - 3i) Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng:
-
Cho số phức z thỏa mản \((1+i)^{2}(2-i) z=8+i+(1+2 i) z\) . Phần thực của số phức z là:
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho số phức z = a + bi (ab # 0). Tìm phần thực của số phức \( {\rm{w}} = \frac{1}{{{z^2}}}\)
-
Phần ảo của số phức \(z=(2-3 i)(3+2 i)\) là:
-
Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \) và biểu thức \({\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.
-
Số phức z=(1+i)2 bằng
-
Cho số phức \(z=2+5 i\). Tìm số phức \(w=i z+\bar{z}\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 2i} \right| = 1\) và \(\left( {1 + i} \right)z + \overline z \) là số thuần ảo?
-
Số phức liên hợp của số phức z = 2 - 5i là:
-
Tính \({(1 + 2i)^3}\)
-
Tính: \( {(\sqrt 2 - i\sqrt 3 )^2}\)
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+3 i|=\sqrt{13} \text { và } \frac{z}{z+2}\)là số thuần ảo
-
Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a + (b + i)i = 1 + 2i với i là đơn vị ảo.
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z|^{2}=2|z+\bar{z}|+4 \text { và }|z-1-i|=|z-3+3 i| ?\)
