Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\left( 1 \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A; B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Gọi M(a; b) là toạ độ của tiếp điểm
Đạo hàm
+ Do tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm).
Nghĩa là
\(\begin{array}{l}
y'\left( a \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2a + 3} \right)}^2}}} = - 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2a + 3 = 1\\
2a + 3 = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1,b = 1\\
a = - 2,b = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
- Với a = -1; b = 1 phương trình ∆: y- 1 = -( x+ 1) hay y = -x ( loại) .
- Với a = -2; b = 0 thì ∆ : y- 0 = -( x+ 2) hay y = -x-2 (nhận).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -x- 2.