Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \({9^{{m^2}x}} + {4^{{m^2}x}} \ge m{.5^{{m^2}x}}\) có nghiệm?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết, ta chỉ xét \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\)
Ta có: \({9^{{m^2}x}} + {4^{{m^2}x}} \ge m{.5^{{m^2}x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{5}} \right)^{{m^2}x}} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{{m^2}x}} \ge m\,\,\left( 1 \right)\)
Có \({\left( {\frac{9}{5}} \right)^{{m^2}x}} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{{m^2}x}} \ge 2\sqrt {{{\left( {\frac{9}{5}} \right)}^{{m^2}x}}.{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^{{m^2}x}}} = 2{\left( {\frac{6}{5}} \right)^{{m^2}x}}\).
Do đó nếu \({x_0}\) là nghiệm của bất phương trình \(2{\left( {\frac{6}{5}} \right)^{{m^2}x}} \ge m\) thì \({x_0}\) cũng là nghiệm của \({\left( {\frac{9}{5}} \right)^{{m^2}x}} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^{{m^2}x}} \ge m\).
Ta xét các giá trị \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) làm cho bất phương trình \(2{\left( {\frac{6}{5}} \right)^{{m^2}x}} \ge m\,\,\,\left( 2 \right)\) có nghiệm.
Vì \(2{\left( {\frac{6}{5}} \right)^{{m^2}x}} \ge m \Leftrightarrow {\left( {\frac{6}{5}} \right)^{{m^2}x}} \ge \frac{m}{2}, m \in {\mathbb{Z}^ + }\)
\( \Leftrightarrow {m^2}x \ge {\log _{\frac{6}{5}}}\left( {\frac{m}{2}} \right) \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{{{m^2}}}{\log _{\frac{6}{5}}}\left( {\frac{m}{2}} \right)\), với \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\).
Vậy với \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) thì bất phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm tương ứng là \(x \ge \frac{1}{{{m^2}}}{\log _{\frac{6}{5}}}\left( {\frac{m}{2}} \right)\).
Suy ra có vô số giá trị \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) làm cho bất phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
