Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{(m+5) x+2 m^{2}+5 m+6}{x+2 m}\) nghịch biến trên khoảng \((4 ;+\infty) ?\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { TXĐ } D=\mathbb{R} \backslash\{-2 m\} \text { . }\\ \text { Ta có } y^{\prime}=\frac{5 m-6}{(x+2 m)^{2}} \text { . }\\ \text { Hàm số nghịch biến trên khoảng }(4 ;+\infty) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}<0, \forall x \in(4 ;+\infty) \\ -2 m \notin(4 ;+\infty) \end{array}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { 5 m - 6 < 0 } \\ { - 2 m \leq 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m<\frac{6}{5} \\ m \geq-2 \end{array} \Leftrightarrow-2 \leq m<\frac{6}{5} . \text { Do } m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{-2 ;-1 ; 0 ; 1\} .\right.\right. \end{array}\)
Vậy có 4 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.