Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A( -1; 0) với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số C: y = x3-3x2+ 4 tại ba điểm phân biệt A; B; C và tam giác OBC có diện tích bằng 1?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k nên có dạng y= k( x+ 1) hay
Kx- y+k=0 .
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là:
D cắt tại ba điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' > 0}\\
{g\left( { - 1} \right) \ne 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k > 0}\\
{k \ne \;9}
\end{array}} \right.\)
Khi đó g(x) = 0 khi \(x=\sqrt k ;\;x = 2 + \sqrt k \)
V(A\left( { - 1;\;0} \right);B\left( {2 - \sqrt k ;\;3k - k\sqrt k } \right);C\left( {2 + \sqrt k ;\;3k + k\sqrt k } \right).\)
Tính được
\(\begin{array}{l}
BC = 2\sqrt k \sqrt {1 + {k^2}} \\
d\left( {O,BC} \right) = d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| k \right|}}{{\sqrt {1 + {k^2}} }}.
\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}
{S_{OBC}} = \frac{1}{2}.\frac{{\left| k \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}.2\sqrt k .\sqrt {{k^2} + 1} = 1\\
\Leftrightarrow \left| k \right|\sqrt k = 1 \Leftrightarrow {k^3} = 1 \Leftrightarrow k = 1.
\end{array}\)
Vậy k = 1 thỏa yêu cầu bài toán.