Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}\le m.{{\log }_{5-\sqrt{4-x}}}3\) có nghiệm.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có\(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}\le m.{{\log }_{5-\sqrt{4-x}}}3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x\sqrt x + \sqrt {x + 12} } \right).\frac{1}{{{{\log }_{\left( {5 - \sqrt {4 - x} } \right)}}3}} \le m\\ \Leftrightarrow \left( {x\sqrt x + \sqrt {x + 12} } \right){\log _3}\left( {5 - \sqrt {4 - x} } \right) \le m \end{array}\)
Đặt \(g\left( x \right)=\left( x\sqrt{x}+\sqrt{x+12} \right).{{\log }_{3}}\left( 5-\sqrt{4-x} \right).\)
Yêu cầu bài toán trở thành\(m\ge Max\,g\left( x \right)\,\)
Điều kiện
\(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x + 12 \ge 0\\ 5 - \sqrt {4 - x} > 0\\ 5 - \sqrt {4 - x} \ne 1\\ 4 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x > - 21\\ x \ne - 12\\ x \le 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 4.\)
\(\begin{array}{l} g'\left( x \right) = \left( {\frac{3}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt {x + 12} }}} \right).{\log _3}\left( {5 - \sqrt {4 - x} } \right) + \left( {x\sqrt x + \sqrt {x + 12} } \right)\frac{{\frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }}}}{{\left( {5 - \sqrt {4 - x} } \right).\ln 3}}\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {\frac{3}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt {x + 12} }}} \right).{\log _3}\left( {5 - \sqrt {4 - x} } \right) + \left( {x\sqrt x + \sqrt {x + 12} } \right).\frac{1}{{2\sqrt {4 - x} .\left( {5 - \sqrt {4 - x} } \right).\ln 3}} \end{array}\)
\(\Rightarrow g'\left( x \right)>0\,\,\,\,\forall x\in \left[ 0;4 \right]\)
\(\Rightarrow g\left( x \right)\)đồng biến trên\(\left[ 0;4 \right].\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {GTLN}\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} \,g\left( x \right) = g\left( 4 \right) = \left( {4\sqrt 4 + \sqrt {4 + 12} } \right).{\log _3}\left( {5 - \sqrt {4 - 4} } \right).\\ \Rightarrow \mathop {GTLN}\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} \,g\left( x \right) = 12{\log _3}5.\\ \Rightarrow m \ge 12{\log _3}5. \end{array}\)
