Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau\(d: \frac{x-3}{-4}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{1}\) và \(d^{\prime}: \frac{x}{-6}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d '?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\left\{\begin{array}{l} A(3-4 a ;-2+a ;-1+a) \in d \\ B(-6 b ; 1+b ; 2+2 b) \in d^{\prime} \end{array} \text { sao cho }\left\{\begin{array}{l} A B \perp d \\ A B \perp d^{\prime} \end{array}\right.\right.\)
Ta có:
\(\overrightarrow{A B}=(4 a-6 b-3 ; b-a+3 ; 2 b-a+3) ; \overrightarrow{u_{d}}=(-4 ; 1 ; 1) ; \overrightarrow{u_{d^{\prime}}}=(-6 ; 1 ; 2)\)
Khi đó:
\(\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{u_{d}}=0 \\ \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{u_{d'}}=0 \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -4(4 a-6 b-3)+b-a+3+2 b-a+3=0 \\ -6(4 a-6 b-3)+b-a+3+2(2 b-a+3)=0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=0 \end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow A(-1 ;-1 ; 0), B(0 ; 1 ; 2), \overrightarrow{A B}=(1 ; 2 ; 2)\)
Vậy phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d ' là :
\(\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}\)