Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y-2z+10=0\) và 2 đường thẳng \({{\textΔ}_{1}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}\) và \({{\textΔ}_{2}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+3}{4}\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc \({{\textΔ}_{1}}\) đồng thời tiếp xúc với \({{\textΔ}_{2}}\) và (P).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\left( 2+t;t;t+1 \right)\in {{\textΔ}_{1}}\) là tâm của mặt cầu. \({{\textΔ}_{2}}\) xác định qua \(M\left( 2;0;-3 \right),\overrightarrow{{{u}_{{{\textΔ}_{2}}}}}=\left( 1;1;4 \right)\)
Ta có:
\(d\left( I;{{\textΔ}_{2}} \right)=d\left( I;\left( P \right) \right)\)
Khi đó \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2+t-2t-2\left( 1+t \right)+10 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{\left| 10-3t \right|}{3}\)
\(\overrightarrow{IM}\left( -t;-t;-4-t \right) \\\Rightarrow d\left( I;{{\textΔ}_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};\overrightarrow{{{u}_{{{\textΔ}_{2}}}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{{{\textΔ}_{2}}}}} \right|}=\frac{\sqrt{2{{\left( 3t-4 \right)}^{2}}}}{\sqrt{1+1+16}}=\frac{\left| 3t-4 \right|}{3}\)
Cho \(\frac{\left| 10-3t \right|}{3}=\frac{\left| 3t-4 \right|}{3}\Leftrightarrow t=\frac{7}{3}\Rightarrow I\left( \frac{13}{3};\frac{7}{3};\frac{10}{3} \right)\)
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-\frac{13}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{7}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z-\frac{10}{3} \right)}^{2}}=1\).
