Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta_{1}: \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}\) và \(\Delta_{2}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{3}\) . Phương trình đường thẳng song song với \(d:\left\{\begin{array}{l}
x=3 \\
y=-1+t \\
z=4+t
\end{array}\right.\) và cắt hai đường
thẳng \(\Delta_{1} ; \Delta_{2}\) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Gọi } \Delta \text { là đường thẳng cần tìm. Gọi } A=\Delta \cap \Delta_{1}, B=\Delta \cap \Delta_{2}\\ A \in \Delta_{1} \Rightarrow A(-1+3 a ; 2+a ; 1+2 a)\\ B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(1+b ; 2 b ;-1+3 b)\\ \overrightarrow{A B}=(-3 a+b+2 ;-a+2 b-2 ;-2 a+3 b-2) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} d \text { có vectơ chỉ phương } \overrightarrow{a_{d}}=(0 ; 1 ; 1)\\ \Delta / / d \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{a_{d}} \text { cùng phương } \end{array}\)
\(\Leftrightarrow \text { có một số } k \text { thỏa } \overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{a_{d}} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { - 3 a + b + 2 = 0 } \\ { - a + 2 b - 2 = k } \\ { - 2 a + 3 b - 2 = k } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { - 3 a + b = - 2 } \\ { - a + 2 b - k = 2 } \\ { - 2 a + 3 b - k = 2 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \\ k=-1 \end{array}\right.\right.\right.\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có } A(2 ; 3 ; 3) ; B(2 ; 2 ; 2)\\ \Delta \text { đi qua điểm } A(2 ; 3 ; 3) \text { và có vectơ chỉ phương } \overrightarrow{A B}=(0 ;-1 ;-1) \end{array}\)
Vậy phương trình của \(\Delta \text { là }\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=3-t . \\ z=3-t \end{array}\right.\)