Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {3;2; – 1} \right), B\left( {5;4;3} \right)\). M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho \(\frac{{AM}}{{BM}} = 2\). Tìm tọa độ của điểm M.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính bán kính  R  của mặt cầu \((S ) :x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y = 0\)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { – 3;\,0;\,1} \right), B\left( {1;\, – 1;\,3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + 2z – 5 = 0\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua A, song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ nhất. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;\,b;\,c} \right)\). Khi đó \(\frac{b}{c}\) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm \(A(-1 ;-2 ; 1)\) và đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=1-3 t \\ y=2+t ; t \in \mathbb{R} \\ z=3+2 t \end{array}\right.\) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d
 

Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( {2;4; – 1} \right), B\left( {5;0;7} \right)\). Viết phương trình tham số của tia AB.

Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm \(O, A(1 ; 0 ; 0), B(0 ;-2 ; 0)\,\,và \,\,C(0 ; 0 ; 4)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P: 3x-4y+5z-2 = 0. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng P?

Cho ba điểm A(2; 1; 4), B(-2; 2; -6), C(6; 0; -1). Tích \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:

Trong không gian Oxyz , cho ba đường thẳng \(d_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1} ; d_{2}: \frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}\);\(d_{3}: \frac{x+3}{-3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+5}{8}\). Đường thẳng song song với \(d_{3},\, cắt \,d_{1}\, và\,d_{2}\) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\,(2;0;-2);\,\,B\,(3;-1;-4);\,\,C\,(-2;2;0).\) Điểm D nằm trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1. Khi đó có tọa độ điểm D thỏa mãn bài toán là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;{\rm{ }} – 1;{\rm{ }}2} \right)\) và \(B\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)\). Độ dài đoạn AB bằng

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x-z+2=0 và (Q): 3x+4y+2z+4=0 . Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d

Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1\,;2\,;3} \right)\) và \(B\left( {3\,; – 2\,; – 1} \right)\) có tọa độ là

Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1\,;3\,; – 5} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – 2y + 3z – 4 = 0\) có tọa độ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; – 1;1} \right)\), vuông góc và cắt đường thẳng \(d:\frac{{x – 4}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 5}}{1}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\;\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{3}\). Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{\alpha _d}}\) có tọa độ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {2; – 3;5} \right), N\left( {6; – 4; – 1} \right)\) và đặt \(u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): 4x + 3y - 7z + 1 = 0. Phương trình tham số của d là:

Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x+2y-z+1 = 0.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng \(d:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 1 - 2t}\\
{z = 1 + t}
\end{array}} \right.\) và điểm M(-4;3;2)?

Cho 4 điểm \(A\,(1;1;0);\,\,B\,(0;2;1);\,\,C\,(1;0;2);\,\,D\,(1;1;1)\). Tính diện tích mặt ADB của tứ diện ABCD.