Trong không gian Oxyz ,cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A(-1 ;-1 ; 1)\) và nhận \(\vec{u}(1 ; 2 ; 3)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là 

Góc tạo bởi hai véc tơ \(\vec{a}=(2 ; 2 ; 4), \vec{b}=(2 \sqrt{2} ;-2 \sqrt{2} ; 0)\) là:

Cho hai mặt phẳng \((\alpha): 3 x-2 y+2 z+7=0 \text { và }(\beta): 5 x-4 y+3 z+1=0\). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc \((\alpha) \text { và }(\beta)\) là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng thẳng \(d: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}\) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với trục Ox .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\;\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\) và\({d_2}:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 - 3t}\\
{y =  - 2 + t}\\
{z =  - 1 - t}
\end{array}} \right.\). Phương trình đường thẳng d nằm trong (α): x + 2y − 3z − 2 = 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + z – 10 = 0\), điểm \(A\left( {1\,;3\,;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 1 – t\end{array} \right.\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( P \right)\) và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình chính tắc là

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = - 2 + 2t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d ?
 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {2; – 3;5} \right), N\left( {6; – 4; – 1} \right)\) và đặt \(u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng \(d_{1}: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}\) và \(d_{2}: \frac{x+1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{1}\). Góc giữa hai đường thẳng đó bằng 

Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {0\,;1\,;1} \right)\), vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 3}}{{ – 2}} = \frac{{y – 6}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}\) và cắt đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – t\\z = 2\end{array} \right.\) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ . Tìm m để góc giữa
hai vectơ\(\vec{u}, \vec{v}\) , bằng \(45^0\).
 

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P đi qua điểm \(A(1 ;-3 ; 2)\)và chứa trục Oz . Gọi\(\vec{n}=(a ; b ; c)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Tính \(M=\frac{b+c}{a}\)
 

Trong không gian Oxyz, cho , có độ dài lần lượt là 1 và 2. Biết \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 3\) khi đó góc giữa 2 vectơ \(\vec a, \vec b\) là
 

Trong không gian Oxyz , mp (P)đi qua \(A(1 ;-2 ; 3)\) và vuông góc với đường thẳng \((d): \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{3}\) có phương trình là.
 

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  \(d:\frac{{x + 8}}{4} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\). Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là:

Trong không gian Oxyz , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng:\(d:\frac{{3 - x}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{3}\)

Phương trình mặt cầu tâm I(1;2;- 3) bán kính R =2 là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình làx²+y²+z²-2x-4y-6z+5 = 0. Tính diện tích mặt cầu (S).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;-3) và d vuông góc với mặt phẳng (P): 3x + y + 1 = 0

Cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y – z – 1 = 0\). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;\;1;\; – 2} \right)\) song song với \(\left( P \right)\) và vuông góc với d là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(2; -1; 0) là: