Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {0\,;1\,;1} \right)\), vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 3}}{{ – 2}} = \frac{{y – 6}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}\) và cắt đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = – t\\z = 2\end{array} \right.\) có phương trình là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { – 2\,;2\,;1} \right)\).
Giả sử \(\Delta \) cắt \({d_2}\) tại \(B \Rightarrow B\left( {t\,; – t\,;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {t\,; – t – 1\,;1} \right)\)
Vì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \({d_2} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow – 2t – 2t – 2 + 1 = 0 \Leftrightarrow t = – \frac{1}{4}\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( { – \frac{1}{4}\,; – \frac{3}{4};1} \right) = – \frac{1}{4}\left( {1\,;3\,; – 4} \right) = – \frac{1}{4}\overrightarrow u \), với \(\overrightarrow u = \left( {1\,;3\,; – 4} \right)\).
Vậy đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {0\,;1\,;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1\,;3\,; – 4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\end{array} \right..\)
