Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x < y\) và \({4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo bài ra ta có: \({4^x} + {4^y} = 32y - 32x + 48 \Leftrightarrow {4^x} + 32x = 32y - {4^y} + 48\).
Vì \(x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y \in {\mathbb{N}^*},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < y\) nên ta thử các TH sau:
+ Với \(x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 2\) ta có: \(4 + 32 = 64 - 16 + 48 \Leftrightarrow 36 = 96\) (Vô lí).
\( \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow VT = {4^x} + 32x \ge 80{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( y \right) = 32y - {4^y} + 48\) ta có \(f'\left( y \right) = 32 - {4^y}\ln 4 = 0 \Leftrightarrow y = {\log _4}\dfrac{{32}}{{\ln 4}}\).
BBT:
Vì \(y \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(f\left( y \right) = 32y - {4^y} + 48 \in {\mathbb{N}^*}\), dựa vào BBT \( \Rightarrow f\left( y \right) \le 97{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 80 \le f\left( y \right) \le 97 \Rightarrow 80 \le VP \le 97 \Rightarrow 80 \le VT \le 97}\\{ \Rightarrow 80 \le {4^x} + 32x \le 97{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}\).
Hàm số \(g\left( x \right) = {4^x} + 32x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó từ (*) ta suy ra \(x = 2\).
Với \(x = 2\) ta có \(80 = 32y - {4^y} + 48 \Leftrightarrow 32y - {4^y} = 32\), sử dụng MODE7 ta tìm được \(y = 3\).
Vậy có 1 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\).
Chọn D.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Lạc Long Quân
Câu hỏi liên quan
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) là?
-
Tính thể tích \(V\) của khối nón có độ dài đường sinh \(l = 5a\) và bán kính của đường tròn đáy là \(r = 3a\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right),C\left( {3; - 1; - 2} \right)\). Giả sử \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 861\) sao cho \(P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị \(T = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|\) bằng?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \({\log _{\dfrac{1}{3}}}\dfrac{{1 - 2x}}{x} > 0\) có dạng \(\left( {a;b} \right)\). Tính \(T = 3a - 2b\)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 10\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = 6\). Tính giá trị của \(I = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left| {3 - 2x} \right|dx} \)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình. Số nghiệm của phương trình \(f\left( {1 - f\left( x \right)} \right) = 2\) là?
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \(\sqrt 2 a\). Tam giác SAD cân tại \(S\) và mặt bên \(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với mp đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\dfrac{4}{3}{a^3}\). Tính khoảng cách h từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình chữ nhật, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(AB = a;\,\,AD = a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp S.ABCD bằng?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2 + {e^x}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào?
-
GTNN của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 12{x^2} - 4\) trên đoạn \(\left[ {0;9} \right]\) bằng?
-
Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mp (DBC’) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc \({60^0}\). Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình:
Trong các số \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\) có bao nhiêu số dương?
-
Nghiệm của phương trình sau \(\sin x = 1\) là?
-
Cho hàm số sau \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.\) Với giá trị nào của \(m\) để hàm số có 2 điểm cực trị A,B sao cho \(AB = \sqrt {20}\)?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mp vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(AC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = 4a\). Tính theo \(a\) khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SC?
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Hình trụ \(\left( T \right)\) có 1 đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. Diện tích xung quanh của \(\left( T \right)\) bằng?
-
Viết PTTT của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 2}}\), biết tiếp tuyến có hệ số góc \(k = {\rm{\;}} - 3\)?
-
Cho 3 điểm \(A\left( {2;1; - 1} \right),\)\(B\left( { - 1;0;4} \right),\)\(C\left( {0; - 2; - 1} \right)\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với BC có phương trình là?
-
Làng gốm truyền thống Bát Tràng dự kiến làm 1 bức tranh gồm hình vuông cạnh \(4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)\), thiết kế có 4 đường parabol chung đỉnh tại tâm của hình vuông, tạo nên bốn cánh hoa (tham khảo hình vẽ). Phần diện tích cánh hoa (phần tô đậm) sẽ được tráng một lớp men đặc biệt. Chi phí tráng lớp men đó có đơn giá là 24 triệu đồng/\({m^2}\). Tính số tiền phải trả để tráng men cho 4 cánh hoa?
-
Viết ptmp vuông góc với \(\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - z + y = 0\) và chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x + 2y - z + 1 = 0\) và \(\left( R \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x + 2y - 2z + 2 = 0\)?
