Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua AK và cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Đặt \({{V}_{1}}={{V}_{S.AMKN}},\text{ }V={{V}_{S.ABCD}}\). Tìm \(S=\max \frac{{{V}_{1}}}{V}+\min \frac{{{V}_{1}}}{V}\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt \(x=\frac{SM}{SB};\text{ }y=\frac{SN}{SD}\). Tính \(\frac{{{V}_{1}}}{V}\) theo \(x\) và \(y\).
Ta có \(\frac{{{V}_{S.AMK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SK}{SC}=\frac{1}{2}x\Rightarrow {{V}_{S.AMK}}=\frac{x}{4}V\).
Tương tự ta có \({{V}_{S.ANK}}=\frac{y}{4}V\).
Suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{x+y}{4}\text{ }\left( 1 \right)\)
Lại có \({{V}_{1}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.MNK}}\) và \({{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ADC}}=\frac{1}{2}V\).
Mà \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}=xy\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{xy}{2}V\)
\(\frac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}.\frac{SK}{SC}=\frac{xy}{2}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\frac{xy}{4}V\)
Suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3xy}{4}\text{ }\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(y=\frac{x}{3x-1}\).
Do \(x>0;\text{ }y>0\) nên \(x>\frac{1}{3}\).
Vì \(y\le 1\Rightarrow \frac{x}{3x-1}\le 1\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}\). Vậy ta có \(x\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3xy}{4}=\frac{3{{x}^{2}}}{4\left( 3x-1 \right)}\) với \(x\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]\).
Có \({f}'\left( x \right)=\frac{3x\left( 3x-2 \right)}{4{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}\).
Bảng biến thiên:
.png)
Từ bảng biến thiên suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{1}{3};\text{ }\max \frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3}{8}\Rightarrow S=\frac{1}{3}+\frac{3}{8}=\frac{17}{24}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Hạ Long lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( 2;0;-1 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left( 4;-6;2 \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Điểm \(M\left( a,b \right)\left( a>0 \right)\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) bằng khoảng cách M tới tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Xét các số phức z, w thỏa mãn \(\left| \text{w}-i \right|=2,\text{ }z+2=iw\). Gọi \({{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\) lần lượt là các số phức mà tại đó \(\left| z \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất. Mođun \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Tính thể tích của khối lập phương \(ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'\), biết \(A{C}'=2\text{a}\sqrt{3}\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 - 2t\\ y = t\\ z = - 1 + 3t \end{array} \right.;\,d':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\prime \\ y = - 1 + 2t\prime \\ z = - 2t\prime \end{array} \right.\) và mặt phẳng \((P):x+y+z+2=0.\) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng \(d,{d}'\) có phương trình là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\left( x+2y+3z \right)=0\). Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ O) của mặt cầu (S) và các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là
-
Phương trình \({{4}^{2x-4}}=16\) có nghiệm là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-5y-z=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right).\)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x=1\) và \({f}'(1)\ne 0\). Gọi \({{d}_{1}},\text{ }{{\text{d}}_{2}}\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)=x.f(2\text{x}-1)\) tại điểm có hoành độ \(x=1\). Biết rằng hai đường thẳng \({{d}_{1}},\text{ }{{\text{d}}_{2}}\) vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ -3;3 \right]\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.
.png)
Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0;f''\left( x \right)>-\frac{1}{6},\forall x\in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-mx \right|\), với m là tham số dương, có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin 5\text{x}\) là
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
.jpg.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & 1\text{x}=2+2t \\ & y=-1-3t \\ & z=1 \\ \end{align} \right.(t\in \mathbb{R})\). Xét đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{m}=\frac{z+2}{-2}\), với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d.
-
Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy R=2, chiều cao h=3 bằng
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[4]{x}\) với x> 0
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA=a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và \((ABC\text{D})\) bằng
-
Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A .Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9.
-
Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)>1+3\log \left( x+1 \right)\) có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến \(x\). Số phần tử của S là
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a,\) góc giữa đường thẳng \({A}'C\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng
