Cho số nguyên a, số thực b. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để tồn tại số thực x thỏa mãn \(x + a = {4^b}\) và \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {a + 2} = {3^b}\). Tổng các phần tử của tập S là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ a \ge - 2 \end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt {x - 2} \\ v = \sqrt {a + 2} \end{array} \right.{\rm{ }};{\rm{ }}u,v \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^2} + {v^2} = {4^b}(1)\\ u + v = {3^b}{\rm{ }}(2) \end{array} \right.\)
Trong đó (1) là phương trình của đường tròn tâm I(0;0), bán kính R = 2b và (2) là phương trình của một đường thẳng.
.png)
Ta phải có: \({\rm{d}}(I,d) = \frac{{\left| { - {3^b}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \le {2^b} \Rightarrow {2^b} \le {3^b} \le {2^{b + \frac{1}{2}}} \Rightarrow 0 \le b \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\\ 1 \le u + v = {3^b} \le {{\rm{3}}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 2.56{\rm{ }} \end{array} \right.\).
\({v^2} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow {v^2} = a + 2 \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow - 2 \le a \le 1,27\)
\( \Rightarrow a \in {\rm{\{ - }}2; - 1;0;1{\rm{\} }}\)
Thử lại với
\(a = 1 \Rightarrow v = \sqrt 3 \Rightarrow {u^2} = {4^b} - 3 \ge 0 \Rightarrow b \ge {\log _4}3\)
\(\Rightarrow u = {3^b} - \sqrt 3 \ge {3^{{{\log }_4}3}} - \sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {u^2} + {v^2} \ge {\left( {{3^{{{\log }_4}3}} - \sqrt 3 } \right)^2} + 3 > 3.4\) trí với \({u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của a.
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh 2a, gọi H là trung điểm của cạnh BC. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AH ta được một hình nón có diện tích toàn phần bằng
-
Cho \(A = 3{\log _{\sqrt 3 }}\sqrt x - 6{\log _9}\left( {3x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{x}{{27}}.\) Nếu \({\log _3}x = \sqrt 7 \) thì giá trị của biểu thức A là
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm của phương trình f(x) + 17 = 0 là:
-
Cho các số phức \({z_1} = 2 + 3i\,,\,{z_2} = 4 - i\). Số phức liên hợp của số phức \({z_1} + {z_2}\) là
-
Cho khối trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 1. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ sau?
.png)
-
Cho hàm số \(f(x) = {2^x}{.5^{{x^2}}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({25^x} - \left( {m + 1} \right){.5^x} + m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 4\) bằng:
-
Gọi S là tập hợp các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\) và đường thẳng y = 1. Tổng các phần tử của S là
-
Cho hình chóp S.ABC biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), SA = a. Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a. M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB bằng
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} \)
-
Môđun của số phức z = 1 - 2i bằng
-
Cho hình nón đỉnh S đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho tam giác OAB là tam giác vuông. Biết \(AB\,\, = \,\,a\sqrt 2 \) và \(\widehat {SAO}\,\, = \,{60^o}.\) Thể tích khối nón là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC.
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\) (minh họa như hình vẽ). M là trung điểm của BC, góc giữa đường thẳng A'M và mặt phẳng (ABC) bằng
-
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Biết vuông góc với đáy. Góc A'A tạo với đáy một góc bằng 60o. Góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A') và (ACC'A') bằng 30o. Khoảng cách từ A đến BB' và CC' lần lượt bằng 8 và 9 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB', CC' và H', K' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A' trên BB', CC'.
Thể tích lăng trụ AHK.A'H'K' bằng
-
Trong không gian Oxyz đường thẳng đi qua A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
-
Nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình \({\log _7}\left( {3 - 2x} \right) > 1\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 3z - 5 = 0\). Vectơ nào dưới đây không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho?
-
Trong không gian Oxy, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 9\) và hai điểm M(1;1;-3), N(-1;0;2). Biết là mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn lớn. Phương trình mặt phẳng (S) là
