Cho số nguyên a, số thực b. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để tồn tại số thực x thỏa mãn \(x + a = {4^b}\) và \(\sqrt {x - 2} + \sqrt {a + 2} = {3^b}\). Tổng các phần tử của tập S là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ a \ge - 2 \end{array} \right.\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt {x - 2} \\ v = \sqrt {a + 2} \end{array} \right.{\rm{ }};{\rm{ }}u,v \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^2} + {v^2} = {4^b}(1)\\ u + v = {3^b}{\rm{ }}(2) \end{array} \right.\)
Trong đó (1) là phương trình của đường tròn tâm I(0;0), bán kính R = 2b và (2) là phương trình của một đường thẳng.
.png)
Ta phải có: \({\rm{d}}(I,d) = \frac{{\left| { - {3^b}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \le {2^b} \Rightarrow {2^b} \le {3^b} \le {2^{b + \frac{1}{2}}} \Rightarrow 0 \le b \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\\ 1 \le u + v = {3^b} \le {{\rm{3}}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 2.56{\rm{ }} \end{array} \right.\).
\({v^2} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow {v^2} = a + 2 \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow - 2 \le a \le 1,27\)
\( \Rightarrow a \in {\rm{\{ - }}2; - 1;0;1{\rm{\} }}\)
Thử lại với
\(a = 1 \Rightarrow v = \sqrt 3 \Rightarrow {u^2} = {4^b} - 3 \ge 0 \Rightarrow b \ge {\log _4}3\)
\(\Rightarrow u = {3^b} - \sqrt 3 \ge {3^{{{\log }_4}3}} - \sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {u^2} + {v^2} \ge {\left( {{3^{{{\log }_4}3}} - \sqrt 3 } \right)^2} + 3 > 3.4\) trí với \({u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của a.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(2f\left( {3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) = m - 3\) có nghiệm?
.png)
-
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f(x)dx} = 6\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x)\cos xdx} \) là
-
Thầy giáo tặng hết 5 quyển sách tham khảo khác nhau cho ba học sinh giỏi luyện tập. Số cách tặng để mỗi học sinh nhận được ít nhất một quyển sách là
-
Nghiệm nguyên âm lớn nhất của bất phương trình \({\log _7}\left( {3 - 2x} \right) > 1\) là
-
Cho số thực a dương, khác 1. Rút gọn biểu thức \({a^{\frac{5}{2}}}.{a^{\frac{3}{2}}}\) ta được kết quả là
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\) (minh họa như hình vẽ). M là trung điểm của BC, góc giữa đường thẳng A'M và mặt phẳng (ABC) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Tọa độ giao điểm của (P) và d là điểm nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\). Tính f'(1)?
-
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của CD và N là trung điểm của A'D'. Góc giữa hai đường thẳng B'M và C'N bằng
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 5} \right)^3}\). Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là
-
Trong không gian Oxy, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 9\) và hai điểm M(1;1;-3), N(-1;0;2). Biết là mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn lớn. Phương trình mặt phẳng (S) là
-
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 3% một quý theo hình thức lãi kép (một quý bằng 3 tháng). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được tính từ lần gửi ban đầu đến thời điếm sau khi gửi thêm tiền lần thứ hai 1 năm, gần nhất với kết quả nào sau đây?
-
Cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) với \(a, b \in R\). Biết phương trình nhận một nghiệm phức là \({z_1} = 1 - 2i.\) Khi đó b - c bằng
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm của phương trình f(x) + 17 = 0 là:
-
Môđun của số phức z = 1 - 2i bằng
-
Gọi S là các tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3mx + 8} \right|\) trên đoạn [0;3] bằng 8. Tổng các số nguyên m bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (SAB) là điểm H thoả mãn \(\overrightarrow {BI} = 3\overrightarrow {IH} \) và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60o. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
-
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng (0;2) là
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} \)
-
Cho hình nón đỉnh S đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho tam giác OAB là tam giác vuông. Biết \(AB\,\, = \,\,a\sqrt 2 \) và \(\widehat {SAO}\,\, = \,{60^o}.\) Thể tích khối nón là
