Cho tứ diện ABCD có \(AC = AD = BC = BD = a,\,\,\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {ABD} \right)\). Tính độ dài cạnh CD.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
\(\Delta ACD\) và \(\Delta BCD\) cân \( \Rightarrow AM \bot CD,BM \bot CD\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\\
\left( {ACD} \right) \supset AM \bot CD\\
\left( {BCD} \right) \supset BM \bot CD
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACD} \right);\left( {BCD} \right)} \right) = \angle \left( {AM;BM} \right) = {90^0}\\
\Rightarrow AM \bot BM
\end{array}\)
Và ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta ACD = \Delta BCD\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AM = BM\)
\( \Rightarrow \Delta ABM\) vuông cân tại \(M \Rightarrow MN \bot AB\)
Chứng minh tương tự ta có \(\Delta CDN\) vuông cân tại N và \(MN \bot CD\)
Đặt CD = x. Áp dụng định lí Pytago ta có: \(A{M^2} = {a^2} - \frac{{{x^2}}}{4}\)
\(\Delta ABM\) vuông cân tại \(M \Rightarrow A{B^2} = 2A{M^2} = 2{a^2} - \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow A{N^2} = \frac{1}{4}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{8}\)
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(D{N^2} = A{D^2} - A{N^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{8} = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{8}\)
\(\Delta CDN\) vuông cân tại \(N \Rightarrow C{D^2} = 2D{N^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{4} = {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
-
Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 5;4;2} \right)\) và C(- 1;0;5). Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là:
-
Cho hai số thực thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\). Đặt \(P = \frac{{{x^2} + 6xy}}{{1 + 2xy + 2{y^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA'C' quanh trục AA'
-
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên R thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 4x + 3\) và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng phương trình \(f(x)=10\) có hai nghiệm thực \(x_1, x_2\). Tính tổng \({\log _2}\left| {{x_1}} \right| + {\log _2}\left| {{x_2}} \right|\)
-
Cho khối chóp tứ giác SABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD, DA. Tính thể tích khối chóp M.CNQP theo V.
-
Cho khai triển \({\left( {\sqrt 3 + x} \right)^{2019}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + ..... + {a_{2019}}{x^{2019}}\). Hãy tính tổng
\(S = {a_0} - {a_2} + {a_4} - {a_6} + ..... + {a_{2016}} - {a_{2018}}\)
-
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B với trọng tâm G, cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc \(30^0\). Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
-
Cho số phức \(z \ne 0\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hàm số \(f(x)\) với bảng biến thiên dưới đây:
.PNG)
Hỏi hàm số \(y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\) có bao nhiêu cực trị?
-
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên R và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}} = 12\). Tính giới hạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{5f\left( x \right) - 16}} - 4}}{{{x^2} + 2x - 8}}\)
-
Tập giá trị của hàm số \(y = \sqrt {x - 3} + \sqrt {7 - x} \) là:
-
Phương trình \(\cos 2x + 2\cos x - 3 = 0\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2019} \right)\)?
-
Cho phương trình \(\frac{{\cos 4x - \cos 2x + 2{{\sin }^2}x}}{{\sin x + \cos x}} = 0\). Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 2} \right) - mx + 1\) đồng biến trên R
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2;- 2). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của \(\Delta ABC\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
-
Cho hai dãy ghế dối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam, 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - i} \right| = 10\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {3x + 1} - 2x}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1\\
- \frac{5}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1
\end{array} \right.\). Tính \(f'(1)\)
