Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 3 điểm phân biệt \(A,B,C\). B nằm giữa \(A\) và \(C)\) sao cho \(AB=2BC. \) Tính tổng các phần tử thuộc \(S.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=m\) và đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) là \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\left( * \right).\)
Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}} \right)\) lần lượt là 3 nghiệm của (*), theo giả thiết ta giả sử \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right),C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)\) khi đó
\(AB=2BC\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=2\left| {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right|\)
\(\Leftrightarrow {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}=0\)
\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=4{{x}_{2}}-{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{3}}=4{{x}_{2}}-3\) (theo ĐL Vi-et cho PT(*) có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3).\)
Thay nghiệm \({{x}_{3}}=4{{x}_{2}}-3\) vào (*) ta có phương trình \({{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{3}}-3{{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}=m\)
Lại có \({{x}_{2}}\) cũng là nghiệm của \(\left( * \right)\) nên \(x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}=m\) do đó ta có phương trình
\({{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{3}}-3{{\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}=x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}\)
\(\Leftrightarrow 64x_{2}^{3}-144x_{2}^{2}+108x_{2}^{{}}-27-3\left( 16x_{2}^{2}-24{{x}_{2}}+9 \right)=x_{2}^{3}-3x_{2}^{2}\)
\(\Leftrightarrow 63x_{2}^{3}-189x_{2}^{3}+180{{x}_{2}}-54=0\)
\(\Leftrightarrow 7x_{2}^{3}-21x_{2}^{3}+20{{x}_{2}}-6=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_2} = \frac{{7 + \sqrt 7 }}{7}\\ {x_2} = 1\\ {x_2} = \frac{{7 - \sqrt 7 }}{7} \end{array} \right.\)
Với \({{x}_{2}}=1\) suy ra \({{x}_{3}}=1\) (loại).
Với \({{x}_{2}}=\frac{7\pm \sqrt{7}}{7}\Rightarrow m=-\frac{48\pm 20\sqrt{7}}{49}.\)
Thử lại trực tiếp ta thấy \(m=-\frac{98+20\sqrt{7}}{49}\) và \(m=-\frac{98-20\sqrt{7}}{49}\) là thỏa mãn được yêu cầu bài toán.
Vậy \(S=\left\{ -\frac{98-20\sqrt{7}}{49};-\frac{98+20\sqrt{7}}{49} \right\}\) và tổng các phần tử thuộc tập \(S\) là \(-4.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) hình vuông cạnh \(a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
-
Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh thành một hàng dọc
-
Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích \(72{{m}^{3}}.\) Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m2, thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m2, nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?
-
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+2}\) đồng biến trên:
-
Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x}\) tại điểm \(x=1\) là \(y'\left( 1 \right)=a\ln 2+b,\left( a,b\in \mathbb{Z} \right).\) Tính \(a-b.\)
-
Nếu dãy số \(\left( {{U}_{n}} \right)\) là cấp số cộng có công sai \(d\) thì ta có công thức là
-
Giới hạn \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{2-3x}\) bằng
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3m \right)}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}.\)
-
Có bao nhiêu cách chọn một bạn lớp trưởng và một bạn lớp phó từ một lớp học gồm 35 học sinh, biết rằng em nào cũng có khả năng làm lớp trưởng và lớp phó?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Gọi \(\left( S \right)\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x-m \right|\) có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của \(S.\)
-
Thể tích của khối nón có chiều dài đường sinh bằng 3 và bán kính đáy bằng 2 là
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-4}{x-m}\) có tiệm cận đứng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=AC=4,BC=2,SA=4\sqrt{3};\angle SAB=\angle SAC={{30}^{0}}.\) Gọi \({{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(\Delta SBC;\Delta SCA;\Delta SAB\) và \(T\) đối xứng \(S\) qua mặt phẳng \(\left( ABC \right).\) Thể tích của khối chóp \(T.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}\) bằng \(\frac{a}{b}\) với \(a,b\in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị \(P=2a-b.\)
-
Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{2020}}x+{{\log }_{2021}}x=0\) là
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO=2MI.\) Khi đó côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SD=\frac{3a}{2},\) hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB. \) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD. \)
-
Cho giới hạn \(\underset{x\to -4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+3x-4}{{{x}^{2}}+4x}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}.\)
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào
.jpg.png)
-
Cho tứ diện đều \(ABCD,M\) là trung điểm của \(BC. \) Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng \(\frac{\sqrt{3}}{6}?\)
