Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+z+7=0,\) đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=5.\) Gọi \(A,\,\,B\) là hai điểm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(AB=4;\) \({A}',\,\,{B}'\) là hai điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(A{A}',\,\,B{B}'\) cùng song song với đường thẳng \(d.\) Giá trị lớn nhất của tổng \(A{A}'+\,B{B}'\) gần nhất với giá trị nào sau đây
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;0;2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).
\(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{10\sqrt{3}}{3}>R\) nên \((P)\) và mặt cầu \((S)\) không giao nhau.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \({M}'\) là trung điểm của \(A\prime B\prime \) thì \(AA\prime +BB\prime =2M{M}'=2.\frac{MH}{\sin \left( M;\left( P \right) \right)}\).
Khi đó \(M{{H}_{\max }}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}+d\left( I;\left( P \right) \right)=\sqrt{5-4}+\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{3+10\sqrt{3}}{3}\).
Ta có \(\sin \left( M;\left( P \right) \right)=\sin \left( d;\left( P \right) \right)=\frac{5\sqrt{3}}{9}\).
Vậy \({{\left( A{A}'+\,B{B}' \right)}_{\max }}=2.\frac{\frac{3+10\sqrt{3}}{3}}{\frac{5\sqrt{3}}{9}}=\frac{60+6\sqrt{3}}{5}\approx 14,08\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Kiệm