Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3 \Leftrightarrow y{.2^{2y}} \ge (3 - 2x){.4^{1 - x}} \Leftrightarrow 2y{.2^{2y}} \ge (3 - 2x){.2^{3 - 2x}}(1).\)
+ Nếu \(3 - 2x \le 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\): (1) đúng với mọi \(y \ge 0.\) Ta có:
\(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + {0^2} + 2.\frac{3}{2} + 4.0 = \frac{{21}}{4}.\)
+ Nếu \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}:\) Hàm số \(f(t) = t{.2^t}\) đồng biến trên \({\rm{[}}0; + \infty )\), do đó:
\((1) \Leftrightarrow 2y \ge 3 - 2x \Leftrightarrow 2x + 2y - 3 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge \frac{3}{2} - x.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge {x^2} + {\left( {\frac{3}{2} - x} \right)^2} + 2x + 4.\left( {\frac{3}{2} - x} \right) = 2{x^2} - 5x + \frac{{33}}{4}\\
P \ge 2{\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{41}}{8} \ge \frac{{41}}{8} < \frac{{21}}{4},{\rm{ = }} \Leftrightarrow x = \frac{5}{4} < \frac{3}{2},{\rm{ }}y = \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} > 0.
\end{array}\)
Vậy \(\min P = \frac{{41}}{8}.\)
Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2020
Bộ GD&ĐT mã đề 103
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình \({3^{x + 1}} = 9\) là
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
.png)
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {{x^2}f(x)} \right) + 2 = 0\) là
-
Cho khối cầu có bán kính r = 2 Thể tích của khối cầu đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A( - 1;0,0),B(0;2;0)\) và \(C(0;0;3).\) Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{(a,b,c,d \in )}
\end{array}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d?.png)
.png)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = {x^2} - 2\) và \(y = 3x - 2\) bằng
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
Biết \(\int_1^2 f (x)dx = 2.\) Giá trị của \(int_1^2 3 f(x)dx\) bằng
-
\(\int {{x^4}} dx\) bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \cdot \)
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g(x) = (x + 1)f'(x)\) là
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 5x\) là
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của f(x) như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn \){\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}(x + y)?\)
-
Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5 và độ dài đường sinh l = 3 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
-
Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
-
Cho hai số phức \(z = 4 + 2i\) và \(w = 1 + i\). Modun của số phức \(z.\bar w\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} - 7}} < 4\) là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) là
-
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\{ 1,2,3,4,5,6,7\} .\) Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng
