\(\text { Tính giới hạn } G=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)}-1}{x} \text { . }\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } y=\sqrt[n]{(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)} \text { . Suy ra khi } x \rightarrow 0 \text { thì } y \rightarrow 1 \text { . }\\ &\text { Ta có } \lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{y^{n}-1}{x}=\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)-1}{x}=\lim \limits _{x \rightarrow 0}\left(24 x^{2}+26 x+9\right)=9 \text { . }\\ &\text { Khi đó } G=\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)}-1}{x}=\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{y^{n}-1}{x\left(y^{n-1}+y^{n-2}+\ldots+y+1\right)}\\ &=\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{y^{n}-1}{x} \cdot \lim \limits _{y \rightarrow 1} \frac{1}{y^{n-1}+y^{n-2}+\ldots+y+1}=\frac{9}{n} . \end{aligned} \)