Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC vuông ở C có \(AB=2a,\) \(\widehat{CAB}={{30}^{0}}\). Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right),\,\,\left( SBC \right).\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Ta có AH\(\bot \)SC,AH\(\bot \)CB(Do CB\(\bot \)(SAC))\(=>\) AH\(\bot \)(SBC)\(=>\) AH\(\bot \)SB
Lại có: SB\(\bot \)AK\(=>\) SB\(\bot \)(AHK). Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right),\left( SBC \right)\) là \(\widehat{HKA}\)
\(\begin{align} & \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{7}{12{{a}^{2}}}=>AH=\frac{a.2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \\ & \frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}=>AK=a\sqrt{2} \\ \end{align}\)
Tam giác HKA vuông tại H (vì AH\(\bot \)(SBC),(SBC)\(\supset \)HK)
\(\sin \widehat{HKA}=\frac{AH}{AK}=\frac{\frac{a.2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=>c\text{os}\widehat{HKA}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)
