Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o, cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) bằng :
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
.png)
Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S.
MP//SO nên \(MP\bot \left( ABCD \right)\), suy ra \(\widehat{MNP}={{60}^{0}}\)
Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét \(PT=\frac{3}{4}AB=\frac{3a}{4}\)
Dễ thấy \(TN=\frac{a}{4}\), theo định lý Pytago ta tính được \(PN=\frac{a\sqrt{10}}{4}\).
Tam giác MPN vuông tại P có \(MN=\frac{NP}{cos\widehat{MNP}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)
Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên \(\frac{CQ}{MC}=\frac{2}{3}\)
Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{QR}{MN}=\frac{CQ}{MC}=\frac{CR}{NC}=\frac{2}{3}\Rightarrow QR=\frac{2}{3}MN=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)
Hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo \(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{SR}{OC}=\frac{BR}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow SR=\frac{2}{3}OC=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
\(CA\bot \left( SBD \right),\text{ }SR//CA\Rightarrow SR\bot \left( SBD \right)\), mặt khác QR//MN do đó góc giữa MN với (SBD) là góc giữa QR với (SBD) là góc SQR.
Tam giác SQR vuông tại S có \(cos\widehat{SQR}=\frac{SR}{QR}=\frac{a\sqrt{2}}{3}:\frac{a\sqrt{10}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S,ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(AB \bot BC\), gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì.
-
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Nếu \(AC' = BD' = B'D = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) thì hình hộp là
-
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, \(SA \bot (ABCD)\). Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD), \((\alpha)\) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
-
Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a. Các cạnh bên vuông góc với đáy và AA' = a. Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và \(\widehat A = 60^\circ \). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O (O là tâm của ABCD), lấy điểm S sao cho tam giác SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có ACC'A' là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và S, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cô-sin góc giữa 2 đường thẳng SD và BC biết \(AD=D C=a, A B=2 a, S A=\frac{2 \sqrt{3} a}{3}\)
-
Cho tứ diện ABCD có \(A C=A D \text { và } B C=B D\) . Gọi I là trung điểm của CD . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.
Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) vì:
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng ∝
Tan của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
-
Hình hộp ABCD.A'B'C'D' trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây?
-
Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây không đúng?
-
Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng \(\alpha\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.ABC\) có đáy là tam giác cân với \(AB=AC=a,\) góc \(\widehat{ABC}={{120}^{0}},\) cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I)?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm SC . Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A. H là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
