Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o, cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) bằng :
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
.png)
Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S.
MP//SO nên \(MP\bot \left( ABCD \right)\), suy ra \(\widehat{MNP}={{60}^{0}}\)
Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét \(PT=\frac{3}{4}AB=\frac{3a}{4}\)
Dễ thấy \(TN=\frac{a}{4}\), theo định lý Pytago ta tính được \(PN=\frac{a\sqrt{10}}{4}\).
Tam giác MPN vuông tại P có \(MN=\frac{NP}{cos\widehat{MNP}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)
Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên \(\frac{CQ}{MC}=\frac{2}{3}\)
Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{QR}{MN}=\frac{CQ}{MC}=\frac{CR}{NC}=\frac{2}{3}\Rightarrow QR=\frac{2}{3}MN=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)
Hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo \(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{SR}{OC}=\frac{BR}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow SR=\frac{2}{3}OC=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
\(CA\bot \left( SBD \right),\text{ }SR//CA\Rightarrow SR\bot \left( SBD \right)\), mặt khác QR//MN do đó góc giữa MN với (SBD) là góc giữa QR với (SBD) là góc SQR.
Tam giác SQR vuông tại S có \(cos\widehat{SQR}=\frac{SR}{QR}=\frac{a\sqrt{2}}{3}:\frac{a\sqrt{10}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{A_1}{D_1}CB} \right)\) và (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B, C lần lượt lấy D, E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho \(BD = a\frac{{\sqrt 3 }}{2},CE = a\sqrt 3 \). Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?
-
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến \(\Delta\). Lấy A, B cùng thuộc \(\Delta\) và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho \(AC \bot AB\), \(BD \bot AB\) và AB = AC = BD = a. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua A và vuông góc với CD là?
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
-
Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = SB. Góc giữa (SAB) và (SAD) bằng \(\alpha\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho hình lập phương \(A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) cạnh a.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A B, B C, C'D'. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.
-
Cho tứ diện ABCD có: AB = AC = AD, góc BAC bằng góc BAD bằng 60o. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xét mặt phẳng (A'BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.
Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và \(S A \perp(A B C D)\), gọi O là tâm hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây sai?
-
Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.
-
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.
Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì:
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = a/2.
Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và S, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cô-sin góc giữa 2 đường thẳng SD và BC biết \(AD=D C=a, A B=2 a, S A=\frac{2 \sqrt{3} a}{3}\)
-
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc \(\widehat A = {60^0}\), cạnh \(SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong tam giác SAC kẻ \(IK \bot SA\) tại K. Tính số đo góc \(\widehat {{\rm{BKD}}}\).
-
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8. Gọi C là một điểm trên (P), D là một điểm trên (Q) sao cho AC, BD cùng vuông góc với giao tuyến d và AC = 6, BD = 24. Độ dài CD là:
-
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a= 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng A. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:
