Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a,AC = BD = b,AD = BC = c. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} PM\parallel BD\\ PN\parallel AC \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {BD,AC} \right)} = \widehat {\left( {PM,PN} \right)}\)
Theo công thức tính đường trung tuyến ta có
\(C{M^2} = \frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\)
Tương tự \(D{M^2} = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\), nên
\(M{N^2} = \frac{{M{C^2} + M{D^2}}}{2} - \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\)
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác PMN ta có
\(\cos \widehat {MPN} = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2.PM.PN}} = \frac{{{{\left( {\frac{b}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{b}{2}} \right)}^2} - \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}}{{2\left( {\frac{b}{2}} \right)\left( {\frac{b}{2}} \right)}} = \frac{{2\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}}{{{b^2}}}\)
Vậy \(\widehat {\left( {AC,BD} \right)} = \arccos \left| {\frac{{2\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}}{{{b^2}}}} \right|\).
