Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4)

A. (x + 3)2 - (y +3)2 = 5

B. (x – 3)2 - (y – 3)2 = 5

C. (x – 3)2 + (y – 3)2 = 5

D. (x + 3)2 + (y + 3)2 = 5

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 10

Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lời giải:

Báo sai

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP, có tâm là I(a; b) và bán kính R.

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {MI} = \left( {a - 2;b - 5} \right) \Rightarrow MI = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2}} }\\ {\overrightarrow {NI} = \left( {a - 1;b - 2} \right) \Rightarrow NI = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} }\\ {\overrightarrow {PI} = \left( {a - 5;b - 4} \right) \Rightarrow PI = \sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} } \end{array}\)

Ta có: MI = NI = PI = R nên ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} MI = NI\\ MI = PI \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{{(a - 2)}^2} + {{(b - 5)}^2}} = \sqrt {{{(a - 1)}^2} + {{(b - 2)}^2}} \\ \sqrt {{{(a - 2)}^2} + {{(b - 5)}^2}} = \sqrt {{{(a - 5)}^2} + {{(b - 4)}^2}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 10b + 25 = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4\\ {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 10b + 25 = {a^2} - 10a + 25 + {b^2} - 8b + 16 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 6b = - 24\\ 6a - 2b = 12 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 3b = 12\\ 3a - b = 6 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 3 \end{array} \right. \end{array}\)

⇒ I(3; 3) và \(MI{\rm{ }} = \;\sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)

Do đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có tâm I(3; 3) và bán kính \(R = \sqrt 5 \) là:

\(\begin{array}{l} {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2}\; = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2}\; = {\rm{ }}5. \end{array}\)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là: (x – 3)² + (y – 3)² = 5.