Luyện tập 3 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\) Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCó a2 = 9, suy ra a = 3.
Gọi toạ độ của M là (x; y).
Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có \({F_2}M{\rm{ }} = {\rm{ }}3{\rm{ }}-\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x ≤ 3
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\sqrt 5 }}{3}x \le \frac{{\sqrt 5 }}{3}3 \Rightarrow \frac{{\sqrt 5 }}{3}x \le \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{3}x \ge - \sqrt 5 \\ \Rightarrow {F_2}M = 3 - \frac{{\sqrt 5 }}{3}x \ge 3 - \sqrt 5 \end{array}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 3.
Vậy độ dài F2M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3; 0) của elip.