Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi \(\displaystyle y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục \(\displaystyle Ox\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\displaystyle \frac{1}{x} - 1 = 2x \Rightarrow x = \frac{1}{2}\); \(\displaystyle \frac{1}{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\); \(\displaystyle 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Do đó \(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{{\left( {2x} \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {{{\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle = \pi .\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {4{x^2}dx} + \pi .\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x} + 1} \right)dx} \)
\(\displaystyle = \pi .\left. {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \pi \left. {\left( { - \frac{1}{x} - 2\ln x + x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1\) \(\displaystyle = \frac{\pi }{6} + \pi \left( {0 + 2 + 2\ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)\) \(\displaystyle = \frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi \ln 2\)
\(\displaystyle = \frac{{5\pi }}{3} - 2\pi \ln 2\)
Câu hỏi liên quan
-
Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.
-
Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là
-
Cho hình phẳng ( H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x(2-x)\) và trục Ox . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là
-
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.
-
Tính thể tích vật thể có đáy là một tam giác cho bởi: \(\displaystyle y = x,y = 0\), và \(\displaystyle x = 1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục \(\displaystyle Ox\) là một hình vuông.
-
Quay hình phẳng GG giới hạn bởi các đường y=x3,y=1,x=0 xung quanh trục Oy. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
-
Một ô tô đang chạy với vận tốc \(\displaystyle 10m/s\) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(\displaystyle v\left( t \right) = - 5t + 10\left( {m/s} \right)\), trong đó \(\displaystyle t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 4\), \(y = - {x^2} - 2x\) và đường thẳng \(x = - 3,x = - 2\)
-
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi \(\displaystyle y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle x = 1\), quanh trục \(\displaystyle Oy\)
-
Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong \(x = \sqrt y \), trục tung và hai đường thẳng y = 1,y = 4 Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính theo công thức
-
Cho hình phẳng \(\displaystyle R\) giới hạn bởi các đường sau đây: \(\displaystyle {y_1} = {f_1}\left( x \right).{y_2} = {f_2}\left( x \right)\) (\(\displaystyle {f_1},{f_2}\) là các hàm số liên tục trên đoạn \(\displaystyle \left[ {a;b} \right]\)), \(\displaystyle x = a\) và \(\displaystyle x = b\). Hãy chỉ ra công thức sai trong việc tính diện tích hình \(\displaystyle R\).
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\).
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(x=f(y), x=g(y)\) và hai đường thẳng \(y=a, y=b\), như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= ex, trục hoành và các đường thẳng (x=0,x=1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x}\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=1, x=2\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là
-
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t ,(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát
-
Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: \(\displaystyle y = {x^3} - 12x,y = {x^2}\)
-
Diện tích hình phẳng \(\displaystyle P\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle {y_1} = x,{y_2} = 2x,{y_3} = 2 - x\) bằng:
-
Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc đầu là 6(m/s) và có gia tốc được cho bởi công thức \(a(t)=v^{\prime}(t)=\frac{3}{t+1}\left(m / s^{2}\right) .\) Vận tốc của vật sau 8 giây là \(v(8)=a \ln 3+b(a, b \in \mathbb{Z}), \text { tính } P=a-b \text { . }\)
