Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình \(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x=\frac{7}{16}\) là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} \sin ^{6} x+\cos ^{6} x=\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{4} x-\sin ^{2} x \cos ^{2} x+\cos ^{4} x\right) \\ =\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)-3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x=1-\frac{3}{4} \sin ^{2} 2 x=1-\frac{3}{4} \cdot \frac{1-\cos 4 x}{2}=\frac{5+3 \cos 4 x}{8} \\ \Rightarrow \frac{5+3 \cos 4 x}{8}=\frac{7}{16} \Leftrightarrow \cos 4 x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 4 x=\cos \frac{2 \pi}{3} \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} 4 x=\frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi \\ 4 x=-\frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} x=\frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{2} \\ x=-\frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{2} \end{array}\right.\right. \end{array}\)
Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là \(x_{1}=\frac{\pi}{6} \text { và } x_{2}=\frac{\pi}{3} \text { Vậy } x_{1}+x_{2}=\frac{\pi}{2}\)