Xét các số phức \(z_{1}, z_{2}\) thỏa mãn \(\left|z_{1}-3 i+5\right|=2 \text { và }\left|i z_{2}-1+2 i\right|=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|2 i z_{1}+3 z_{2}\right|\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z_{3}=2 i z_{1} \text { và } z_{4}=-3 z_{2} \text { suy ra } P=\left|2 i z_{1}+3 z_{2}\right|=\left|z_{3}-\left(-3 z_{2}\right)\right|=\left|z_{3}-z_{4}\right|\\ &\text { Và } z_{1}=\frac{1}{2 i} z_{3} \text { thế vào }\left|z_{1}-3 i+5\right|=2 \Leftrightarrow\left|\frac{1}{2 i} z_{3}-3 i+5\right|=2 \Leftrightarrow\left|z_{3}-(-6-10 i)\right|=4 \text { . }\\ &\text { Và } z_{2}=-\frac{1}{3} z_{4} \text { thế vào }\left|i z_{2}-1+2 i\right|=4 \Leftrightarrow\left|\frac{-1}{3} i z_{4}-1+2 i\right|=4 \Leftrightarrow\left|z_{4}-(6+3 i)\right|=12 \text { . } \end{aligned}\)
Gọi A ,B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức \(z_{3}, z_{4}\)
\(\begin{aligned} &\left|z_{3}-(-6-10 i)\right|=4 \Rightarrow A \text { thuộc đường tròn tâm } I(-6 ;-10), R_{3}=4\\ &|z_{4}-(6+3 i) \mid=12 \Rightarrow B \text { thuộc đường tròn tâm } J(6 ; 3), R_{4}=12 . \end{aligned}\)
\(\Rightarrow P=\left|z_{4}-z_{3}\right|=A B \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} P_{\min }=\left|I J-R_{3}-R_{4}\right|=\sqrt{313}-16 \\ P_{\max }=I J+R_{3}+R_{4}=\sqrt{313}+16 \end{array}\right.\)
