Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến của (C) cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến Δ gần giá trị nào nhất?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Gọi
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
+ Giao điểm của với tiệm cận đứng là \(A\left( {1;\;2 + \frac{6}{{{x_0} - 1}}} \right)\)
+ Giao điểm của với tiệm cận ngang là B(2x0-1; 2).
Ta có \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{6}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}.2.\left| {{x_0} - 1} \right| = 2.3 = 6\)
Tam giác IAB vuông tại I có diện tích không đổi nên chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi
\(IA = IB \Leftrightarrow \frac{6}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 2\left| {{x_0} - 1} \right| \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 1 + \sqrt 3 \\
{x_0} = 1 - \sqrt 3
\end{array} \right.\)
+Với \({x_0} = 1 + \sqrt 3 \) thì phương trình tiếp tuyến là \(\Delta :\;y = - x + 3 + 2\sqrt 3 \).
Suy ra \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)
+ Với \({x_0} = 1 - \sqrt 3 \) thì phương trình tiếp tuyến là \(\Delta :\;y = - x + 3 - 2\sqrt 3 \)
Suy ra \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy khoảng cách lớn nhất là \(\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án.
Câu hỏi liên quan
-
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) song song với đường thẳng y = 24x - 1 là:
-
Tìm m để phương trình \({x^3} + 3{x^2} = m\) có ba nghiệm phân biệt
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b) . Phát biểu nào sau đây là đúng ?
-
Tiếp tuyến của parabol \(y = 4 - {x^2}\) tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích tam giác vuông đó là
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.png)
-
Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?
-
Cho hàm của hàm số f(x) đồng biến trên tập số thực R, mệnh đề nào sau đây là đúng ?
-
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4}-2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = - 2 là:
-
Đồ thị ở hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
-
Cho đồ thị hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình f(x)=x
-
Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + ax + b\) có điểm cực tiểu A(2;−2). Tìm tổng (a+b)
-
Hình vẽ sau đây giống với đồ thị của hàm số nào nhất?
.png)
-
Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 48 và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và 4 mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi hh là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết \( h = \frac{m}{n}\)với m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng m+n là
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\)có đồ thị như hình bên. Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số \(y=\frac{2x-1}{|x-1|}\)?
-
Cho hàm số \(y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1\) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x – 1. Số giao điểm của (C) và d là
-
Cho hàm số \(y=f(x)=x^4–5x^2+4\) có đồ thị như hình vẽ bên.Hỏi đồ thị hàm số \(y=|x^4–5x^2+4| \)có dạng nào trong các đáp án sau đây?
-
Tất cả giá trị của tham số m để phương trình \(x^{3}-3 x-m+1=0\) có ba nghiệm phân biệt là
-
Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ bên?
-
Cho hàm số \(y = {x^4} – \left( {2m – 1} \right){x^2} + 2m\) có đồ thị (C). Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = 2 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3 là
