Cho \(x,y\) là số thực dương thỏa mãn \(\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=x+y\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ \(\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y\). Ta xét:
Nếu \(0<x\le 1\) thì \(y\ge xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow 0\ge {{x}^{2}}\) mâu thuẫn.
Nếu \(x>1\) thì \(xy\ge {{x}^{2}}+y\Leftrightarrow y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}\Leftrightarrow y\ge \frac{{{x}^{2}}}{x-1}\). Vậy \(P=x+y\ge x+\frac{{{x}^{2}}}{x-1}\).
Ta có \(f\left( x \right)=x+\frac{{{x}^{2}}}{x-1}\) xét trên \(\left( 1;+\infty \right)\).
Có \(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}(loai)\\ x = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}(nhan) \end{array} \right.\)
Vậy \(\underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( \frac{2+\sqrt{2}}{2} \right)=2\sqrt{2}+3\).
