Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f(x)=\frac{x+m^{2}}{x+3 m+4}\)đồng biến trên khoảng (-10;5)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { TXĐ: } D=\mathbb{R} \backslash\{-3 m-4\} \\ f^{\prime}(x)=\frac{-m^{2}+3 m+4}{(x+3 m+4)^{2}} \end{array}\)
\(\text { Hàm số đồng biến trên }(-10 ; 5) \Leftrightarrow f^{\prime}(x)>0, \forall x \in(-10 ; 5)\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { - m ^ { 2 } + 3 m + 4 > 0 } \\ { - 3 m - 4 \notin ( - 1 0 ; 5 ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \in(-1 ; 4) \\ {\left[\begin{array}{l} -3 m-4 \leq-10 \\ -3 m-4 \geq 5 \end{array}\right.} \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \in(-1 ; 4) \\ {\left[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq-3 \end{array} \Leftrightarrow m \in[2 ; 4)\right.} \end{array}\right.\)
\(\text { Do } m \in \mathbb{Z} \text { nên } m \in\{2 ; 3\} \text { . }\)
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán