Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) có hai tiệm cận ngang.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: mx2+ 1 > 0.
- Nếu m = 0 thì hàm số trở thành y = x+ 1 không có tiệm cận ngang.
- Nếu m < 0 thì hàm số xác định
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y\) không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
- Nếu m > 0 thì hàm số xác định với mọi x.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt m }}\)
Suy ra đường thẳng \(y = \frac{1}{{\sqrt m }}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi \(x\to + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{{\sqrt m }}\)
Suy ra đường thẳng \(y = - \frac{1}{{\sqrt m }}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi \(x\to - \infty \)
Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.