Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{4 \sqrt{3 x+1}-3 x-5}\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } 4 \sqrt{3 x+1}-3 x-5=0 \Leftrightarrow 4 \sqrt{3 x+1}=3 x+5 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 16(3 x+1)=9 x^{2}+30 x+25 \\ 3 x+5 \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow x=1\right.\)
\(\text { Tập xác định: } D=\left[-\frac{1}{3} ;+\infty\right) \backslash\{1\}\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{4\sqrt {3x + 1} - 3x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5)}}{{ - 9{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4\sqrt {3x + 1} + 3x + 5}}{{ - 9(x - 1)}} = - \infty \)
do đó đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-1}{4 \sqrt{3 x+1}-3 x-5}=\lim \limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{1-\frac{1}{x}}{4 \sqrt{\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-3-\frac{5}{x}}=-\frac{1}{3}\)do đó đường thẳng \(y=-\frac{1}{3}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.