Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số \(y = \frac{{{\rm{cos}}\,x – 3}}{{{\rm{cos }}x – m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \({\rm{cos }}x \ne m\)
Ta có: \(y’ = \frac{{( – m + 3)}}{{{{\left( {{\rm{cos }}x – m} \right)}^2}}}.( – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x) = \frac{{(m – 3)}}{{{{\left( {{\rm{cos }}x – m} \right)}^2}}}.\sin x\)
Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x > 0, {\left( {{\rm{cos }}x – m} \right)^2} > 0,\,\,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right):{\rm{cos }}x \ne m\).
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Leftrightarrow y’ < 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – 3 < 0\\{\rm{cos }}x \ne m{\rm{ }}\,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m – 3 < 0\\m \notin \left( { – 1;0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le – 1\\m \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le m < 3\\m \le – 1\end{array} \right.\)