Tìm tất cả giá trị của \(m\) để phương trình \(\log _{3}^{2}x-\left( m+2 \right).{{\log }_{3}}x+3m-1=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) sao cho \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\log _{3}^{2}x-\left( m+2 \right).{{\log }_{3}}x+3m-1=0\) (1).
Điều kiện xác định: \(x>0\).
Đặt \(t={{\log }_{3}}x\). Ta có phương trình: \({{t}^{2}}-(m+2)t+3m-1=0\) (2).
Để phương trình (1) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) sao cho \({{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27\).
Thì phương trình (2) có 2 nghiệm \({{t}_{1}};{{t}_{2}}\) thỏa mãn \({{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3\).
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ m + 2 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 8m + 8 > 0\\ m = 1 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow m=1\).