Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng \(d_1,d_2\) , lần lượt có phương trình\(d_{1}: \frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}, d_{2}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{4}\). Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) cách đều hai đường thẳng \(d_1,d_2\) , là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTac có \(d_{1} \text { đi qua } A(2 ; 2 ; 3) \text { và có } \overrightarrow {u_{d_{1}}}=(2 ; 1 ; 3)\)
\(d_{2} \text { đi qua } B(1 ; 2 ; 1) \text { và có } \overrightarrow{u_{d_{2}}}=(2 ;-1 ; 4)\)
\(\overrightarrow{A B}=(-1 ; 1 ;-2) ;[\overrightarrow{u_{d_{1}}} ; \overrightarrow{u_{d_{2}}}]=(7 ;-2 ;-4)\)
\(\Rightarrow[\overrightarrow{u_{d_{1}}} ; \overrightarrow{u_{d_{2}}}] \overrightarrow{A B}=-1 \neq 0\) nên \(d_1,d_2\) chéo nhau.
Do \((\alpha)\) cách đều \(d_1,d_2\) nên \((\alpha)\) song song với hai đường thẳng \(d_1,d_2\).\(\Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}}=[\overrightarrow{u_{d_{1}}} ; \overrightarrow{u_{d_{2}}}]=(7 ;-2 ;-4)\)
\(\Rightarrow(\alpha) : 7 x-2 y-4 z+d=0\)
Theo đề bài lại có:
\(d(A,(\alpha))=d(B,(\alpha)) \Leftrightarrow \frac{|d-2|}{\sqrt{69}}=\frac{|d-1|}{\sqrt{69}} \Leftrightarrow d=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow(\alpha): 14 x-4 y-8 z+3=0\)